Hierarchický index (pokročilí)

Pokročilejší práce s multiindexem (hierarchický index).

• Vyřešíme soustavu rovnic. Naučíme se uložit data do tabulky, kde budou přístupné výsledky pro jednotlivá nastavení modelu (datasety) a pro vývoj jednotlivých populací.

• Naučíme se uložená data vyvolávat a používat například pro tvorbu grafů.

Nejprve import knihoven a nastavení.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from scipy.integrate import solve_ivp

def konkurence(t,X,a=1,b=1,c=0.4,alpha=1,beta=.2,gamma=1):
    x,y = X
    return [(a-b*x-c*y)*x, (alpha-beta*x-gamma*y)*y]

meze = [0,30]
pocatecni_podminka = [0.2,0.3]
t = np.linspace(*meze,500)

Tvorba tabulky s hierarchickým indexem

Vytvoříme tabulku se sloupcovým indexem obsahujícím dvě úrovně. Pro začátek uložíme pouze sloupec s časem jako index. Ideální z hlediska rychlosti je vytvořit sloupce současně s tabulkou a poté do nich jenom vkládat data, ale je možné sloupce vytvářet i později.

my_index = pd.MultiIndex.from_tuples([], names=['dataset', 'populace'])
df = pd.DataFrame(columns=my_index, index=t)
df.index.name = "Čas"
df.tail()

Čas
29.759519
29.819639
29.879760
29.939880
30.000000

Dále vyřešíme pro jednotlivá nastavení (bez konkurence, s konkurencí a dominance jednoho a druhého druhu) a vložíme do tabulky. Vytiskneme konec tabulky.

datasets = ["nezávislé populace","slabá konkurence","dominance x","dominance y"]  # Názvy datasetů
druhy = ["x","y"] # Názvy druhů

for c,beta,d in zip( 
                [0,0.4,0.4,1.5],   # hodnoty pro koeficient c 
                [0,0.2,1.3,0.8],   # hodnoty pro koeficient beta
                datasets  # názvy datasetů
        ):
    reseni = solve_ivp(
                       lambda t,X:konkurence(t,X,c=c,beta=beta),
                       meze,
                       pocatecni_podminka,
                       t_eval=t 
                       ).y.T   # řešení ve sloupcích
    df[[(d,druh) for druh in druhy]] = reseni # uložení do tabulky
df.tail() # tisk konce tabulky pro kontrolu

dataset	nezávislé populace		slabá konkurence		dominance x		dominance y
populace	x	y	x	y	x	y	x	y
Čas
29.759519	0.999867	0.999926	0.652025	0.869367	0.999876	0.000107	6.607543e-07	0.999999
29.819639	0.999875	0.999931	0.652022	0.869363	0.999880	0.000105	6.411905e-07	0.999999
29.879760	0.999882	0.999935	0.652022	0.869363	0.999885	0.000103	6.222057e-07	0.999999
29.939880	0.999889	0.999938	0.652026	0.869368	0.999889	0.000101	6.037822e-07	0.999999
30.000000	0.999895	0.999942	0.652032	0.869376	0.999893	0.000099	5.859032e-07	0.999999

Použití dat z tabulky

Na řadě je vykreslení dat ze sloupců tak, aby byly v jednom obrázku všechna data pro jednotlivé datasety a poté v jedno obrázku všechna data pro jednotlivé populace.

fig,axs = plt.subplots(2,2,sharex=True, sharey=True)  # obrázek se čtyřmi podobrázky ve dou řadách a sloupcích
axs = axs.ravel()  # abychom se nemuseli na podobrázky odkazovat dvojitým indexem, seřadíme je lineárně
for ax,dataset in zip(axs,datasets):  # cyklus přes podobrázky a datasety
    ax.plot(t,df.xs(key=(dataset,"x"),level=(0,1),axis=1))  # vykreslení datasetu do podobrázku
    ax.plot(t,df.xs(key=(dataset,"y"),level=(0,1),axis=1))  # vykreslení datasetu do podobrázku
    ax.set(  # nastavení nadpisu
        title=dataset.capitalize()
        )
    ax.grid()
axs[0].set(ylim=(0,1.05))    # rozsah pro svislou osu
axs[0].legend([f"Druh {i}" for i in druhy])  # legenda
plt.tight_layout()  # automatické upravení mezer mezi obrázky

fig,axs = plt.subplots(2,1,sharex=True)
for ax,populace in zip(axs,druhy):
    ax.plot(t,df.xs(level=1,axis=1,key=populace))
    ax.set(
        ylim=(0,1.05),
        title=f"Populace ${populace}$",
    )
axs[0].legend(datasets)
plt.tight_layout()

Mírnou modifikací kódu je možné vykreslit trajektorie řešení. (Pozor na to, jedná se o trajektorie pro čtyři různé autonomní systémy, proto trajektorie mohou vycházet z jednoho bodu por různými směry.)

fig,ax = plt.subplots()
for dataset in datasets:
    ax.plot(df[dataset,"x"],df[dataset,"y"],label=dataset)
ax.legend()
ax.set(title="Trajektorie v modelu konkurence dvou populací")
plt.tight_layout()

Ukázky selekce sloupců

Výběr podle hodnoty první úrově indexu je jednoduchý. Vlastně to je stejné jako pro klasické indexy.

Nejprve jak vypadá naše tabulka (začátek).

df.head()

dataset	nezávislé populace		slabá konkurence		dominance x		dominance y
populace	x	y	x	y	x	y	x	y
Čas
0.000000	0.200000	0.300000	0.200000	0.300000	0.200000	0.300000	0.200000	0.300000
0.060120	0.209793	0.312775	0.208264	0.312015	0.208274	0.307870	0.204138	0.309777
0.120240	0.219933	0.325841	0.216698	0.324243	0.216741	0.315591	0.208126	0.319622
0.180361	0.230421	0.339187	0.225294	0.336670	0.225396	0.323143	0.211952	0.329523
0.240481	0.241253	0.352797	0.234040	0.349277	0.234232	0.330503	0.215607	0.339467

Následovně se z dat vyfiltrje vývoj systému, kdy sledujeme dvě nezávislé populace.

df["nezávislé populace"]

populace	x	y
Čas
0.000000	0.200000	0.300000
0.060120	0.209793	0.312775
0.120240	0.219933	0.325841
0.180361	0.230421	0.339187
0.240481	0.241253	0.352797
...	...	...
29.759519	0.999867	0.999926
29.819639	0.999875	0.999931
29.879760	0.999882	0.999935
29.939880	0.999889	0.999938
30.000000	0.999895	0.999942

500 rows × 2 columns

Komplikovanější je, když na hodnotě první úrovně indexu nezáleží, ale vybíráme podle druhé úrovně. Možností je několik, jedna z nich je využití příkazu xs. Takto se vyberou sloupce s vývojem první populace pro jednotlivé scénáře (datasety).

df.xs(level=1,axis=1,key="x")

dataset	nezávislé populace	slabá konkurence	dominance x	dominance y
Čas
0.000000	0.200000	0.200000	0.200000	2.000000e-01
0.060120	0.209793	0.208264	0.208274	2.041376e-01
0.120240	0.219933	0.216698	0.216741	2.081256e-01
0.180361	0.230421	0.225294	0.225396	2.119524e-01
0.240481	0.241253	0.234040	0.234232	2.156074e-01
...	...	...	...	...
29.759519	0.999867	0.652025	0.999876	6.607543e-07
29.819639	0.999875	0.652022	0.999880	6.411905e-07
29.879760	0.999882	0.652022	0.999885	6.222057e-07
29.939880	0.999889	0.652026	0.999889	6.037822e-07
30.000000	0.999895	0.652032	0.999893	5.859032e-07

500 rows × 4 columns

Pokud vybíráme podle více kritérií, používáme n-tice.

df.xs(level=(0,1),axis=1,key=("slabá konkurence","x"))

dataset	slabá konkurence
populace	x
Čas
0.000000	0.200000
0.060120	0.208264
0.120240	0.216698
0.180361	0.225294
0.240481	0.234040
...	...
29.759519	0.652025
29.819639	0.652022
29.879760	0.652022
29.939880	0.652026
30.000000	0.652032

500 rows × 1 columns

Pokud chceme jeden konkrétní sloupec, je možné předchozí kód zjednodušit. Takto se vyberou data odpovídající první populaci při slabé konkurenci. Formálně je výsledek stejný jako v minulém případě, ale protože výsledekem je jeden sloupec, je výsledek ve tvaru vektoru (přesněji řada typu pandas.Series). Předchozí postup pomocí xs vrací tabulku, která by při existenci další hierarchie ve sloupcovém indexu mohla mít více sloupců

df["slabá konkurence","x"]

Čas
0.000000     0.200000
0.060120     0.208264
0.120240     0.216698
0.180361     0.225294
0.240481     0.234040
               ...   
29.759519    0.652025
29.819639    0.652022
29.879760    0.652022
29.939880    0.652026
30.000000    0.652032
Name: (slabá konkurence, x), Length: 500, dtype: float64