Ctrl+K

LaTeX

7. LaTeX#

V tomto cvičení se naučíme psát texty obsahující matematiku. Pravidla jsou následující.

  1. Každá věta začíná velkým písmenem, končí tečkou a nikdy není odstavec rozdělen uvnitř věty. Aby bylo snadné toto pravidlo dodržet nezačínáme nikdy větu matematickým výrazem. Interpunkci používáme dle pravidel českého jazyka a to i v případě, že matematický výraz stojí na samostatném řádku.

    • Špatně: \(k\) je konstanta úměrnosti.

    • Správně: Konstanta \(k\) je konstanta úměrnosti.

    • Špatně: Obsah kruhu o poloměru \(r\) je dán vztahem

      \[S=\pi r^2\]

    • Správně: Obsah kruhu o poloměru \(r\) je dán vztahem

      \[S=\pi r^2.\]

    • Špatně: Obsah kruhu je dán vztahem

      \[S=\pi r^2\]
      kde \(r\) je poloměr kruhu.

    • Správně: Obsah kruhu je dán vztahem

      \[S=\pi r^2,\]
      kde \(r\) je poloměr kruhu.

  2. Každá matematická proměnná se označuje jako matematický výraz. Editor poté použije automaticky předvolený font, zpravidla matematickou kurzívu nebo kurzívu.

    • V MS Word je toto pod klávesovou zkratkou Alt=.

    • V systému LaTeX se začátek a konec matematického výrazu vyznačuje dle interpretru dolary, znaky \(, \), \[ a \] nebo speciálními tagy (Wikipedie).

  3. Důležité matematické vzorce píšeme na samostatný řádek a dle typografie buď centrujeme nebo zarovnáváme na levý okraj. Přitom nekončíme odstavec uvnitř první věty (pravidlo 1). Viz příklad v prvním bodě. V LaTeXu pro vzorec na samostatném řádku používáme dvojdolar nebo hranatou závorku, pro vzorec uvnitř řádku jednoduchý dolar a kulatou závorku. Ve Wordu vzorec na samostatný řádek umístíme pravým tlačítkem a výběrem odpovídající položky v menu.

  4. Matematické funkce zapisujeme jiným fontem než proměnné. Toto zařídí software automaticky, pokud dodržujeme nastavená pravidla.

    • Špatně: sin(x)+cos(x) dává \(sin(x)+cos(x)\)

    • Správně: \sin(x)+\cos(x) dává \(\sin(x)+\cos(x)\)

Další výrazy zapisujeme smluvenými značkami. Například kód pro derivaci \(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\) si zobrazíte kliknutím na tento text.

7.1. Rozcestník#

  • Pro psaní textů v Jupyter notebooku používáme Markdown, https://cs.wikipedia.org/wiki/Markdown

  • Pro psaní matematiky v Markdownu používáme LaTeX, https://cs.wikipedia.org/wiki/LaTeX

  • Je mnoho ukázek jak se LaTeXem zapisují vzorcem, například https://robert-marik.github.io/latex

  • LaTeX se dá použít i v prostředí MS Word, v moderních verzích (2016 ještě ne, Office365 už ano), viz https://www.youtube.com/watch?v=IOx3iy3rsRY

  • Převod mezi Markdownem, Wiki, Wordem atd zajistí program pandoc, viz např online služba https://pandoc.org/try/

  • Služba LaTeXovátko s Markdownem ukazuje při editaci rovnou naformátovaný text ve vedlejším poli.

7.2. Upravte následující text#

Upravte následující text tak, aby byl typograficky správně.

Řešením kvadratické rovnice

ax^2+bx+c = 0
 
s neznámou x a koeficienty a, b a c je dvojice čísel

x1,2 = (-b plusminus sqrt(b^2-4ac))/(2a)

7.3. Najděte chyby#

  1. Najděte typografické prohřešky v hesle Logistická funkce na české Wikipedii. https://cs.wikipedia.org/wiki/Logistická_funkce

  2. U hesla je možné si zobrazit zdrojový kód ve wikijazyku a na webu https://pandoc.org/try/ převést na markdown. Výsledek je zde. (GitHub texty automaticky formátuje, zobrazte si zdroj pomocí tlačítka Raw vpravo nahoře).

  3. Opravte v textu typografické prohřešky. (Odkazy nebudou mimo wiki fungovat, ty neopravujte)

    • Každá věta musí končit tečkou.

    • Žádný odstavec nesmí začínat uprostřed věty. (Źádné prázdné řádky uvnitř věty.)

    • Každý matematický výraz musí být zapsaný matematickou kurzívou. Ta je odlišná od textové kurzívy.

    • Číslo rovnice opravte, použijte příkaz \tag{znacka}.

    • Přidejte počáteční podmínku \(P(0)=\frac 12\) na řádek s rovnicí, ať máme v display módu celou počáteční úlohu. Přeformulujte okolní text tak, aby toto dávalo smysl.

7.3.1. Logistická funkce#

Logistická funkce nebo též logistická křivka je reálná funkce definovaná jako

\[f(t;a,m,n,\tau) = a\frac{1 + m e^{-t/\tau}}{1 + n e^{-t/\tau}} \!\]

kde f je funkční hodnota, a, m, n, a τ reálné parametry. Nezávisle proměnná se označuje t, protože logistická funkce se často používá pro modelování vývoje v čase. V počáteční fázi je růst přibližně exponenciální, později s rostoucím nasycením se zpomaluje, a nakonec se asymptoticky zastaví. Logistická funkce se často používá v empirických vědách například pro modelování růstu populací a koncentrací.

7.3.2. Sigmoida#

Významným příkladem logistické funkce je speciální případ s parametry a = 1, m = 0, n = 1, τ = 1, tedy

\[P(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}\!\]

Tato logistická funkce se pro svůj tvar někdy označuje též jako sigmoida. Je řešením nelineární diferenciální rovnice prvního řádu

\[\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=P(1-P), \quad\mbox{(2)}\]

s okrajovou podmínkou P(0) = 1/2. Používá se často jako sponová funkce (link function) ve statistických modelech (logistická regrese) pro transformaci vstupních hodnost do intervalu \((0, 1)\), což umožňuje přímý převod na procenta (např. úspěšnost nalezené shody při analýze obrazu, zvuku, textu atp.).

7.3.3. Význam#

Logistické křivky se objevují jako řešení různých modelů například v demografii, biologii a ekonomii.

Obsah