3. Model soupeření jestřábí a holubičí povahy#

Cílem tohoto modelu je studovat typy chování živočichů a rostlin a zjistit, zda některý typ chování přináší jeho nositelům evoluční výhodu.

Nechť se v populaci vyskytují dva vzorce chování – jedince používající první z nich budeme nazývat jestřábi a druhý holubice. Chování se projeví, pokud se dva jedinci setkají u téhož zdroje (potrava, hnízdiště, apod).

Jestřáb o zdroj bojuje a ustoupí pouze po prohraném boji.
Holubice o zdroje nebojuje. Pokud protivník ustoupí bez boje, holubice zdroj zkonzumuje. V opačném případě zdroj zkonzumuje protivník.
Předpokládejme, že každý jedinec v populaci si zkonzumováním zdroje může svou evoluční zdatnost posílit o hodnotu \(V\). Pokud je nucen a ochoten o zdroj bojovat, je jeho evoluční zdatnost naopak snížena o hodnotu \(D\).
Setkají-li se u zdroje dvě holubice, jedna z nich ustoupí bez boje a druhá zkonzumuje zdroj. Předpokládejme, že po častých setkáních tohoto typu každá holubice zkonzumuje průměrně polovinu zdrojů.
Setká-li se u zdroje holubice s jestřábem, zkonzumuje celý zdroj jestřáb.
Setkají-li se u zdroje dva jestřábi, ani jeden z nich neustoupí a bojují o zdroj. Předpokládejme, že všichni jestřábi jsou stejně silní a po boji je pravděpodobnost zkonzumování zdroje poloviční pro každého jestřába.

Matematický rozbor (J. Kalas, Z. Pospíšil, Spojité modely v biologii) ukazuje, že četnost \(x\) výskytu jestřábů v populaci se řídí diferenciální rovnicí

\[x'=x(1-x)\left(\frac V2-\frac D2 x\right).\]

Jediné realistické hodnoty \(x\) jsou z intervalu \([0,1]\). Stacionární body rovnice jsou nulové body pravé strany rovnice a to jsou \(x=0\), \(x=1\) a \(x=\frac VD\). Poslední stacionární bod v závislosti na hodnotě parametrů může a nemusí ležet v intervalu \([0,1]\). Pokud leží mimo tento interval, nezajímá nás.

Úkol: Namodelujte vývoj procentuálního zastoupení jestřábů pro dva případy, kdy \(V<D\) a \(V>D\). V každém z případů simulujte několik počátečních podmínek rozložených na intervalu \([0,1]\) a sledujte, zda všechna řešení konvergují ke stejné stacionární hodnotě a pokud ano, k jaké.