12. Difuzní rovnice#
John Gordon Skellam formuloval v roce 1951 model pro difuzi populace, který je formálně stejný, jako model šíření genů, model vedení tepla, model difuze nebo model obecného transportního děje. Všechny tyto modely mají stejnou formu a liší se pouze interpretací jednotlivých proměnných. Všechny tyto modely mají společné to, že se jedná o parciální diferenciální rovnice, které popisují změnu nějaké veličiny v čase a prostoru. Rovnice vystupuje pod různými názvy, jako je například rovnice vedení tepla, difuzní rovnice nebo rovnice reakce-difuze.
Označme \(u(x,t)\) hustotu populace v čase \(t\) a na místě \(x\). Rychlost, s jakou se mění hustota populace v čase, je dána parciální derivací hustoty populace podle času \(t\), tj.
\[\frac{\partial u}{\partial t}.\]
Změna hustoty populace v daném
místě za jednotku času je rozdílem mezi přírůstkem a úbytkem vlivem migrace a
rozdílem mezi přírůstkem a úbytkem, který s migrací nesouvisí. Druhý z faktorů
budeme modelovat pomocí logistické rovnice členem
\[ru(1-u).\]
První faktor budeme modelovat pomocí toku hustoty populace
\[j = -D
\frac{\partial u}{\partial x}.\]
Přírůstek v daném místě je pokles toku, tj.
záporně vzatá derivace toku podle polohy
\[-\frac{\partial j}{\partial x}.\]
Výsledný model má potom tvar
\[\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial x} \left(D \frac{\partial u}{\partial x}\right) + ru(1-u),\]
který jde pro konstantní \(D\) zapsat jako
\[\frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
ru(1-u).\]
Toto platí pro šíření populace v jednorozměrném prostoru. Pro šíření populace ve
dvourozměrném prostoru má rovnice tvar
\[\frac{\partial u}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) + ru(1-u).\]