1. Enzymy#

Procesy v živých organismech řídí proteiny (hormony, enzymy, …). Tyto látky se v tělech živých organismů sytetizují, ale nejsou stabilní a podléhají degradaci. Přitom přežití organismu úzce souvisí se schopností umět syntetizovat dostatečně rychle potřebné látky a udžovat jejich množsví na optimální hladině.

Předpokládejme, že degradace enzymu probíhá rychlostí úměrnou množství enzymu a syntéza probíhá rychlostí, která klesá lineárně s množstvím enzymu. Proces je tedy možné modelovat rovnicí

\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=1-b(x-1) - x, \]

kde \(x\) je množství enzymu a vhodnou volbou jednotek je minimalizován počet parametrů na jediný parametr \(b\) vystupující v rychlosti syntézy (\(1-b(x-1)\)).

Vyřešte tuto rovnici pro tři různé hodnoty parametru \(b\): pro nulovou hodnotu (konstantní produkce) a pro dvě nenulové hodnoty (záporná zpětná vazba, produkce klesá s množstvím syntetizované látky). Zjistěte, která varianta vede k nejrychlejší syntéze proteinu z nulové hodnoty.

Zjistěte, zda stejná varianta zajistí i nejrychlejší zotavení se po rozkolísání rovnovážného stavu. Zopakujte model s jinou počáteční podmínkou, kdy nevycházíme z nulového stavu, ale ze stavu o 20 procent nad rovnovážnou hodnotou, tj. ze stavu 1.2.

Výstup bude obsahovat následující

Nadpis, jméno autora
Popis, jakou rovnici studujeme, co rovnice vyjadřuje.
Vizualizaci řešení z nulové počáteční podmínky pro tři hodnoty parametru \(b\), jedna z hodnot parametru \(b\) bude nula.
Okomentování obrázku. Co v něm vidíme? V které situaci roste řešení ke stacionárnímu stavu nejrychleji?
Vizualizaci řešení pro počáteční podmínku 1.2. Je možné v maximální míře recyklovat kód z předchozí vizualizace.
Okomentování obrázku. V které situaci se obnoví rovnovážný stav nejrychleji?
Obrázky budou obsahovat popisky os a legendu. Rozsahy pro osy a hodnoty parametrů budou zvoleny tak, aby z obrázků bylo jasně patrné, kdy je syntéza nebo zotavení se nejrychlejší. Všechny textové komentáře budou dodržovat obvyklá typografická pravidla.

Model by měl vysvětlit, proč příroda nešla v evoluci nejjednoduší cestou (konstantní produkce), ale cestou záporné zpětné vazby, kdy rychlost syntézy souvisí s koncentrací syntetizované látky. Zařídit zpětnou vazbu je evolučně složitější, vyžaduje to zpravidla souhru dalších chemických reakcí, ale nositeli to dává evoluční výhodu.