4. Model populace ryb

4.1. Matematická formulace

Někteří autoři (Eduardo D. Sontag, Lecture Notes on Mathematical Systems Biology, str. 98, Beverton-Holt population growth model) navrhují pro modelování růstu populace ryb rovnici

\[ \frac{\mathrm dN}{\mathrm dt} = \frac{rN}{a+ N}, \]

kde \(N\) je velikost populace a koeficienty \(r\) a \(a\) jsou paramery populace.

4.2. Úkol

Prostudujte rovnici pro tři různé hodnoty parametru \(r\) a tři různé hodnoty parametru \(a\). Ukažte, že řešením rovnice je neohraničená funkce, ale pro velké velikosti populací je tento růst lineární. Zjistěte, který parametr řídí rychlost růstu přímek znázorňujících graf řešení a který řídí pouze jejich vzájemnou vzdálenost.