Aplikovaná/Inženýrská matematika

Pro popis vlastností v materiálu je zásadní schopnost modelovat transport tekutin a energie materiálem. Na obrázku výzkumá aparatura VCJR v Útěchově.

Zimní semestr - podzim a zima 2024

Úvodem

Předmět se drží těchto zásad:

  • Matematika není počítání příkladů. Počítání příkladů se sice nejlépe učí a nejlépe zkouší, ale to není důvod odhlédnout od toho nejdůležitějšího, k čemu to vlastně je.
  • Pozitivní motivace funguje lépe než hrozby. Nemusíte chodit do výuky, nemusíte odevzdávat domácí úkoly. Ale pokud budete, proplujete předmětem výrazně snadněji.
  • Každý nepotřebuje být skvělý modelář a výpočtář. Ale každému se hodí mít co nejširší spektrum znalostí. Základní znalosti o metodách, pomocí kterých modelujeme svět je užitečné každému, kdo chce být odborníkem. Dá to například představu o limitech a možnostech využití výpočtů a modelů.

Předmět je postaven jako navazující kurz, odpovídá obvyklé navazující matematice na technických školách příbuzných LDF. Zohledňuje však zaměření školy a požadavky na absolventy, kteří budou ze získaných znalostí těžit v 21. století, ve století kdy výpočetní výkon letí nahoru a v mobilu má každý jedinec vyšší výpočetní výkon, než počítače použité k prvnímu letu na Měsíc. Tato skutečnost ovlivňuje i konkrétní náplň předmětu.

Do předmětu jsou zařazeny partie týkající se diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných a vektorových funkcí a dále kapitoly z diferenciálních rovnic. Důraz je více než na počítání konkrétních derivací nebo integrálů kladen na představení souvislostí a nastínění spektra aplikací tohoto aparátu. Tím se předmět liší od obecně pojatých matematik, které jsou nejčastější a je k nim nejvíce literatury. Jinak řečeno, nebude pro nás stěžejní to, jak se vypočítá parciální derivace, ale jak tuto derivaci můžeme použít k popisu dějů a jevů ve dřevě, v materiálech obecně, nebo v přírodě okolo nás.

Předmět navazuje na znalosti matematiky získané v bakalářském stupni studia. Měli byste znát derivace, integrály a operace s maticemi (definice a využití). Měli byste umět derivovat a integrovat polynomy, počítat determinanty třetího řádu. Tyto znalosti je možné načerpat nebo si zopakovat zde.

Informace

Veškeré informace kromě předášek a cvičení jsou k dispozici v Moodle Mendelu, Aplikovaná matematika. Při přilašování do Moodle použijte Shidboleth login a stejné údaje jako při přihlašování do UIS. Pro zápis do předmětu použijte kód, který bude rozeslán mailem na začátku výuky a sdělen na přednášce. Můžete si ho i zjistit od spolužáků.

Přednášky a cvičení

Rozpis témat je orientační a bude přizpůsobován podle běhu semestru. Aktuální informace budou v Moodle.

Diferenciální operátory

  1. 01.jpg Při studiu přírody nás přirozeně zajímají změny veličin, protože jsou hybnou silou nebo kvantitativním popisem veškerého dění. Seznámíme se s parciálními derivacemi, které dokáží zachytit rychlost změn, ať už v čase, nebo v prostoru nebo v abstraktním prostoru. Toto je možno využít ke kvantitativnímu popisu přírodních dějů. Jako aplikaci parciálních derivací odvodíme rovnici vedení tepla v jedné dimenzi. Tu je možno použít například při modelování prostupu tepla stěnou nebo oknem.
  2. 02.jpg Gradient je diferenciální operátor sestavený z parciálních derivací tak, aby odkryl další přírodní zákony. Zejména tok. Gradient umožní popsat skutečnost, že mnoho přírodních dějů vede k tomu, že se příroda snaží nastolit rovnováhu. Proudění se tedy děje z míst, kde je něčeho více. Přesně tento směr dokáže podchytit pojem gradient. K tomuto se ještě přidává fakt, že příroda někdy usměrňuje proudění v materiálech do svých preferovaných směrů. Jsou to jakési dálnice, které strhávají například proudění hmoty nebo tepla. Ve dřevu jsou tyto dálnice poměrně výrazné a jsou v podélném směru.
  3. 03.jpg Podrobněji se podíváme na proudění a sestavíme matematický model tak obecného proudění, že jím pokryjeme přenos látky i přenos energie. Jako aplikaci ukážeme matematický popis libovolného transportního jevu. Toto zahrnuje jako speciální případy vedení tepla, proudění mělké nebo podzemní vody, difuzi nebo sušení dřeva. Častým praktickým úkolem je modelování fyzikálních polí (teploty a vlhkosti) v okolí okna.
  4. 04.jpg Seznámíme se s dalším vektorovým operátorem. Ten nám umožní rozhodnout, zda je proudění nebo silové pole popsatelné skalární veličinou. To souvisí s možností či nemožností zavést ve studovaném poli potenciální energii a je to tedy otázka možnosti či nemožnosti razantně zjednodušit modelování procesů v takovém poli. Jako vedlejší produkt poznáme kritérium které rozhodne, zda pole roztáčí objekty, které jsou tímto polem unášeny. Takové je třeba rychlostní pole v řece. Praktické využití znají například vodáci, kteří najíždí do proudu napříč a proud je sám stočí obloučkem do svého směru.

Integrály funkce více proměnných

  1. 05.jpg Rozšíříme si výpočet integrálu o možnost integrovat podle libovolné křivky. Tím je možno počítat napětí v cylindrických nádobách pod tlakem a zjistit, proč trubky praskají podélně. Jinou aplikací je možnost definovat potenciál i v abstraktních případech nesouvisejících s mechanickou prací. Známý je například vodní potenciál při studiu evapotranspirace stromů nebo rostlin. Práce souvisí s potenciální energií a proto se dá čekat, že bude i souvislost s operátorem rotace, představeným na předchozí přednášce. Na takovou souvislost si ovšem budeme muset ještě nějaký ten týden počkat.
  2. 06.jpg Pokračujeme v rozšiřování integračních možností a naučíme se integrovat přes dvourozměrné množiny. Aplikací je například výpočet charakteristik důležitých pro posouzení odolnosti nosníku vůči deformaci. Jinou aplikací výpočet tlaku na plochu ponořenou napříč různými hloubkami.
  3. 07.jpg Poznáme obecné věty, které dávají fyzikální význam operátorům rotace a divergence. Umožňují převod mezi lokálním a globálním tvarem fyzikálních zákonů a dávají konečně odpověď na otázku, ke kterým vektorovým polím je možno zavést skalární potenciál a jak. Vedlejším produktem je vysvětlení funkce planimetru nebo výpočet křivkového integrálu druhého druhu pomocí kmenové funkce.

Diferenciální rovnice

  1. 08.jpg Seznámíme se s přirozeným nástrojem pro formulaci fyzikálních zákonů a přírodních dějů obecně: s diferenciálními rovnicemi. Fyzika střední školy obsahuje zpravidla jenom děje probíhající za speciálních podmínek. V reálu nás v přírodě zajímají změny a souvislosti změn s ostatními veličinami. Tyto změny se vyjadřují pomocí derivací a souvislosti poté pomocí diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice jsou takto ideálním prostředkem pro popis přírodních zákonů. Typickým představitelem je radioaktivní rozpad (a s ním související například ochrana budov) nebo tepelná výměna. Další aplikace jsou v modelování populací živočišných a rostlinných druhů v různých podmínkách. Obrázek z https://www.hauff-technik.de/en/company/industry-news/radon-safe-construction .
  2. 09.jpg Linearita. Důležitá vlastnost, která usnadňuje řešení matematických modelů. Modely, které jsou lineární se chovají v jistém smyslu pěkně a mnoho vlastností mají podobných. Naprostá většina technicky zajímavých jevů a dějů snese lineární aproximaci a tím pádem umožní i jednotný popis řešení tak, jak se s ním seznámíme na přednášce.
  3. 10.jpg Poznáme speciální soustavy diferenciálních rovnic, které jsou nezávislé na čase a umožňují modelování interagujících populací (různé druhy konkurence, modely dravce a kořisti apod). Ukážeme si model vývoje vzorců chování a vysvětlení principu přemnožení lesního škůdce. Dalšími aplikacemi jsou kompartmentové modely, které popisují jakési přelévání veličin, které modelujeme, mezi různými stavy. Využití je od chemických reakcí přes model složeného žaludku nebo šíření epidemie až k modelu odtoku srážek z regionu.
  4. 11.jpg V této přednášce se seznámíme s lineárními diferenciálními rovnicemi druhého řádu. Těmito rovnicemi je prostoupena v podstatě celá klasická mechanika. Mají uplatnění při studiu kmitavých pohybů strun, desek nebo těles. Dále při studiu nosníků namáhaných na vzpěr a v úlohách založených na třech Newtonových pohybových zákonech. Naučíme se metody řešení, ale zaměříme se i na to, jakým způsobem se obyčejná lineární diferenciální rovnice druhého řádu objeví při studiu parciálních diferenciálních rovnic, například při studiu rovnice vedení tepla.
  5. Základní postupy numerické matematiky. Diskretizace a nondimenzionalizace diferenciálních rovnic. Numerické řešení.

results matching ""

    No results matching ""