4. Rotace, kmenová funkce gradientu

Anotace.

• V úvodu si zkusíme vypočítat několik rotací pro získání určité míry jistoty při práci s tímto operátorem.

• V další části se budeme věnovat hledání kmenové funkce vektorového pole. Rotace informuje o tom, zda tato úloha má řešení, k nalezení tohoto řešení však už nijak nepřispívá. Protože však vzhledem k výše uvedenému problematika k rotaci logicky patří, jsou tyto úlohy zařazeny pospolu. Protože ve dvourozměrném poli se rotace výrazně zjednodušuje, může být nulovost rotace nahrazena rovností mezi jistými dvěma parciálními derivacemi.

4.1. Rotace vektorového pole v rovině

Video

Vypočtěte rotaci funkce \(\displaystyle \vec F=xy^2\vec \imath + 2xy\vec\jmath\).

Řešení

\[\begin{split} \begin{aligned} \curl \vec F= \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec \jmath & \vec k\\ \pdv{x} & \pdv{y} & \pdv{z} \\ xy^2 & 2xy & 0 \end{vmatrix} &=\vec k\qty({\pdv {2xy}{x}-\pdv {xy^2}{y}})\\& =\vec k(2y-2xy)\\&=2y(1-x)\vec k \end{aligned} \end{split}\]

4.2. Rotace vektorového pole v prostoru

Video

Vypočtěte rotaci funkce \(\displaystyle \vec F=xyz\vec \imath + 5x^2y\vec\jmath-3x^2z\vec k\).

Řešení

\[\begin{split} \begin{aligned} \curl \vec F&= \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec \jmath & \vec k\\[4pt] \pdv{x} & \pdv{y} & \pdv{z} \\[10pt] xyz& 5x^2y & -3x^2z \end{vmatrix}\\ &=\vec \imath \ \qty[\pdv {(-3x^2z)}{y}-\pdv {5x^2y}{z}] +\vec \jmath \ \qty[\pdv {xyz}{z}-\pdv {(-3x^2z)}{x}] +\vec k \qty[{\pdv {5x^2y}{x}-\pdv {xyz}{y}}]\\ &=(xy+6xz)\vec\jmath + (10xy-xz)\vec k \\&=x(y+6z)\vec\jmath + x(10y-z)\vec k \end{aligned} \end{split}\]

4.3. Divergence a rotace 2D funkce s parametrem

Video

Vypočtěte divergenci a rotaci funkce \(\displaystyle \vec F=ax^2y^3\vec \imath + (x^2+y)\vec\jmath\).

Řešení

\[\nabla\cdot \vec F=\pdv{x}(ax^2y^3)+\pdv{y}(x^2+y)=2axy^3+1\]

\[\begin{split}\curl \vec F= \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec \jmath & \vec k\\ \pdv{x} & \pdv{y} & \pdv{z} \\ ax^2y^3 & x^2+y & 0 \end{vmatrix} =\vec k(2x-3ax^2y^2) \end{split}\]

4.4. Nalezení kmenové funkce 1/3

Video

Pro vektorové pole

\[\frac 45 x y^3\vec \imath + \frac 65x^2y^2\vec\jmath\]

najděte funkci \(\displaystyle \varphi\) tak, že zadané vektorové pole je rovno gradientu \(\displaystyle \nabla \varphi.\)

Řešení

Platí \(\displaystyle \pdv {\varphi}{x}=\frac 45 xy^3\) a \(\displaystyle \pdv{\varphi}{y}=\frac 65 x^2y^2\).

Odsud

\[\varphi =\int \pdv{\varphi}{x} \,\mathrm dx=\int \frac 45 xy^3 \,\mathrm dx=\frac 45 \frac {x^2}{2}y^3=\frac 25 x^2y^3+C_1(y)\]

a

\[\varphi =\int \pdv{\varphi}{y} \,\mathrm dy=\int \frac 65 x^2y^2 \,\mathrm dy=\frac 65 {x^2}\frac{y^3}3=\frac 25 x^2y^3+C_2(x).\]

Porovnáním musí být \(\displaystyle C_1(y)=C_2(x)=C\in\mathbb R\) a

\[\varphi(x,y)=\frac 25 x^2y^3+C,\quad C\in\mathbb R.\]

4.5. Nalezení kmenové funkce 2/3

Video

Pro vektorové pole

\[\left(x^2+\frac 45 x y^3\right)\vec \imath + \left(\frac 65x^2y^2+y\right)\vec\jmath\]

najděte funkci \(\displaystyle \varphi\) tak, že zadané vektorové pole je rovno gradientu \(\displaystyle \nabla \varphi.\)

Řešení

Platí \(\displaystyle \pdv {\varphi}{x}=x^2+\frac 45 xy^3\) a \(\displaystyle \pdv{\varphi}{y}=\frac 65 x^2y^2+y\).

Odsud

\[\varphi =\int \pdv{\varphi}{x} \,\mathrm dx=\int x^2+\frac 45 xy^3 \,\mathrm dx=\frac {x^3}3+\frac 45 \frac {x^2}{2}y^3=\frac {x^3}3+\frac 25 x^2y^3+C_1(y)\]

a

\[\varphi =\int \pdv{\varphi}{y} \,\mathrm dy=\int \frac 65 x^2y^2 +y \,\mathrm dy=\frac 65 {x^2}\frac{y^3}{3}+\frac 12 y^2=\frac 25 x^2y^3+\frac 12 y^2 + C_2(x).\]

Porovnáním musí být \(\displaystyle C_1(y)=\frac 12 y^2+C\) a \(\displaystyle C_2(x)=\frac {x^3}3+C\), \(\displaystyle C\in\mathbb R\) a

\[\varphi(x,y)=\frac {1}{3}x^3+\frac 25 x^2y^3+\frac 12 y^2+C,\quad C\in\mathbb R.\]

4.6. Nalezení kmenové funkce 3/3

Video

Pro vektorové pole

\[\left(y+\frac 45 x y^3\right)\vec \imath + \left(\frac 65x^2y^2+x^2\right)\vec\jmath\]

najděte funkci \(\displaystyle \varphi\) tak, že zadané vektorové pole je rovno gradientu \(\displaystyle \nabla \varphi.\)

Řešení

Platí \(\displaystyle \pdv {\varphi}{x}=y+\frac 45 xy^3\) a \(\displaystyle \pdv{\varphi}{y}=\frac 65 x^2y^2+x^2\).

Odsud

\[\varphi =\int \pdv{\varphi}{x} \,\mathrm dx=\int y+\frac 45 xy^3 \,\mathrm dx=xy+\frac 45 \frac {x^2}{2}y^3=xy+\frac 25 x^2y^3+C_1(y)\]

a

\[\varphi =\int \pdv{\varphi}{y} \,\mathrm dy=\int \frac 65 x^2y^2 +x^2 \,\mathrm dy=\frac 65 {x^2}\frac{y^3}3+x^2y=\frac 25 x^2y^3+x^2y+ C_2(x).\]

Porovnáním musí být

\[xy+C_1(y)=x^2y+C_2(x),\]

což není možné splnit.

Ověříme, že parciální derivace \(\displaystyle \pdv {y} \qty(y+\frac 45 xy^3)\) a \(\displaystyle \pdv{x}\qty(\frac 65 x^2y^2+x^2)\) jsou různé. Platí

\[\pdv {y} \qty(y+\frac 45 xy^3)=1+\frac{12}5xy^2\]

a

\[\pdv{x}\qty(\frac 65 x^2y^2+x^2)=\frac {12}5 xy^2+2x\]

a protože obě parciální derivace jsou různé, kmenová funkce neexistuje.