4. Rotace, kmenová funkce gradientu#

Anotace.

V úvodu si zkusíme vypočítat několik rotací pro získání určité míry jistoty při práci s tímto operátorem.
V další části se budeme věnovat hledání kmenové funkce vektorového pole. Rotace informuje o tom, zda tato úloha má řešení, k nalezení tohoto řešení však už nijak nepřispívá. Protože však vzhledem k výše uvedenému problematika k rotaci logicky patří, jsou tyto úlohy zařazeny pospolu. Protože ve dvourozměrném poli se rotace výrazně zjednodušuje, může být nulovost rotace nahrazena rovností mezi jistými dvěma parciálními derivacemi.

4.1. Rotace vektorového pole v rovině#

Vypočtěte rotaci funkce $\vec{F} = x y^{2} \vec{ı} + 2 x y \vec{ȷ}$ .

Řešení

\begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla \times \vec{F} = | \begin{array}{c} \vec{ı} & \vec{ȷ} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x y^{2} & 2 x y & 0 \end{array} | & = \vec{k} (\frac{\partial 2 x y}{\partial x} - \frac{\partial x y^{2}}{\partial y}) \\ = \vec{k} (2 y - 2 x y) \\ = 2 y (1 - x) \vec{k} \end{aligned} \end{array}

4.2. Rotace vektorového pole v prostoru#

Video

Vypočtěte rotaci funkce $\vec{F} = x y z \vec{ı} + 5 x^{2} y \vec{ȷ} - 3 x^{2} z \vec{k}$ .

Řešení

\begin{array}{r} \begin{aligned} \nabla \times \vec{F} & = | \begin{array}{c} \vec{ı} & \vec{ȷ} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x y z & 5 x^{2} y & - 3 x^{2} z \end{array} | \\ = \vec{ı} [\frac{\partial (- 3 x^{2} z)}{\partial y} - \frac{\partial 5 x^{2} y}{\partial z}] + \vec{ȷ} [\frac{\partial x y z}{\partial z} - \frac{\partial (- 3 x^{2} z)}{\partial x}] + \vec{k} [\frac{\partial 5 x^{2} y}{\partial x} - \frac{\partial x y z}{\partial y}] \\ = (x y + 6 x z) \vec{ȷ} + (10 x y - x z) \vec{k} \\ = x (y + 6 z) \vec{ȷ} + x (10 y - z) \vec{k} \end{aligned} \end{array}

4.3. Divergence a rotace 2D funkce s parametrem#

Video

Vypočtěte divergenci a rotaci funkce $\vec{F} = a x^{2} y^{3} \vec{ı} + (x^{2} + y) \vec{ȷ}$ .

Řešení

\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x} (a x^{2} y^{3}) + \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y) = 2 a x y^{3} + 1

\begin{array}{r} \nabla \times \vec{F} = | \begin{array}{c} \vec{ı} & \vec{ȷ} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a x^{2} y^{3} & x^{2} + y & 0 \end{array} | = \vec{k} (2 x - 3 a x^{2} y^{2}) \end{array}

4.4. Nalezení kmenové funkce 1/3#

Video

Pro vektorové pole

\frac{4}{5} x y^{3} \vec{ı} + \frac{6}{5} x^{2} y^{2} \vec{ȷ}

najděte funkci

φ

tak, že zadané vektorové pole je rovno gradientu

\nabla φ .

Řešení

Platí $\frac{\partial φ}{\partial x} = \frac{4}{5} x y^{3}$ a $\frac{\partial φ}{\partial y} = \frac{6}{5} x^{2} y^{2}$ .

Odsud

φ = \int \frac{\partial φ}{\partial x} d x = \int \frac{4}{5} x y^{3} d x = \frac{4}{5} \frac{x^{2}}{2} y^{3} = \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + C_{1} (y)

φ = \int \frac{\partial φ}{\partial y} d y = \int \frac{6}{5} x^{2} y^{2} d y = \frac{6}{5} x^{2} \frac{y^{3}}{3} = \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + C_{2} (x) .

Porovnáním musí být

C_{1} (y) = C_{2} (x) = C \in R

φ (x, y) = \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + C, C \in R .

4.5. Nalezení kmenové funkce 2/3#

Video

Pro vektorové pole

(x^{2} + \frac{4}{5} x y^{3}) \vec{ı} + (\frac{6}{5} x^{2} y^{2} + y) \vec{ȷ}

najděte funkci

φ

tak, že zadané vektorové pole je rovno gradientu

\nabla φ .

Řešení

Platí $\frac{\partial φ}{\partial x} = x^{2} + \frac{4}{5} x y^{3}$ a $\frac{\partial φ}{\partial y} = \frac{6}{5} x^{2} y^{2} + y$ .

Odsud

φ = \int \frac{\partial φ}{\partial x} d x = \int x^{2} + \frac{4}{5} x y^{3} d x = \frac{x^{3}}{3} + \frac{4}{5} \frac{x^{2}}{2} y^{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + C_{1} (y)

φ = \int \frac{\partial φ}{\partial y} d y = \int \frac{6}{5} x^{2} y^{2} + y d y = \frac{6}{5} x^{2} \frac{y^{3}}{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} (x) .

Porovnáním musí být

C_{1} (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C

C_{2} (x) = \frac{x^{3}}{3} + C

C \in R

φ (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C, C \in R .

4.6. Nalezení kmenové funkce 3/3#

Video

Pro vektorové pole

(y + \frac{4}{5} x y^{3}) \vec{ı} + (\frac{6}{5} x^{2} y^{2} + x^{2}) \vec{ȷ}

najděte funkci

φ

tak, že zadané vektorové pole je rovno gradientu

\nabla φ .

Řešení

Platí $\frac{\partial φ}{\partial x} = y + \frac{4}{5} x y^{3}$ a $\frac{\partial φ}{\partial y} = \frac{6}{5} x^{2} y^{2} + x^{2}$ .

Odsud

φ = \int \frac{\partial φ}{\partial x} d x = \int y + \frac{4}{5} x y^{3} d x = x y + \frac{4}{5} \frac{x^{2}}{2} y^{3} = x y + \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + C_{1} (y)

φ = \int \frac{\partial φ}{\partial y} d y = \int \frac{6}{5} x^{2} y^{2} + x^{2} d y = \frac{6}{5} x^{2} \frac{y^{3}}{3} + x^{2} y = \frac{2}{5} x^{2} y^{3} + x^{2} y + C_{2} (x) .

Porovnáním musí být

x y + C_{1} (y) = x^{2} y + C_{2} (x),

což není možné splnit.

Ověříme, že parciální derivace $\frac{\partial}{\partial y} (y + \frac{4}{5} x y^{3})$ a $\frac{\partial}{\partial x} (\frac{6}{5} x^{2} y^{2} + x^{2})$ jsou různé. Platí

\frac{\partial}{\partial y} (y + \frac{4}{5} x y^{3}) = 1 + \frac{12}{5} x y^{2}

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{6}{5} x^{2} y^{2} + x^{2}) = \frac{12}{5} x y^{2} + 2 x

a protože obě parciální derivace jsou různé, kmenová funkce neexistuje.

Rotace, kmenová funkce gradientu

Obsah

4. Rotace, kmenová funkce gradientu#

4.1. Rotace vektorového pole v rovině#

4.2. Rotace vektorového pole v prostoru#

4.3. Divergence a rotace 2D funkce s parametrem#

4.4. Nalezení kmenové funkce 1/3#

4.5. Nalezení kmenové funkce 2/3#

4.6. Nalezení kmenové funkce 3/3#