7. Křivkový integrál pomocí potenciálu, Greenova věta, rovnice kontinuity#

Anotace.

V úvodních příkladech ilustrujeme výpočet křivkového integrálu pomocí kmenové funkce. Příkladů je několik, aby se zapsalo do paměti to nejdůležitější: že se křivkový integrál dá v některých případech vypočítat snadno pomocí kmenové funkce. Jak konkrétně postupovat je již dovednost navazující.
Greenova věta pro nás bude mít spíše teoretický význam. Umožňuje přepis křivkového integrálu na dvojný. Vlastní použití není těžké a osaháme si jej i v domácích úlohách. I zde je důležité v první řadě vědět, že to jde a teprve potom přemýšlet nad tím, jak konkrétně se to dělá.
V příkladě se vrátíme i k difuzní rovnici.

7.1. Křivkový integrál pomocí kmenové funkce#

Určete, pro jakou hodnotu parametru $a \in R$ křivkový integrál vektorového pole

\vec{F} = a x^{2} y \vec{ı} + (x^{3} + 1) \vec{ȷ}

po křivce

C

, tj.

\int_{C} a x^{2} y d x + (x^{3} + 1) d y

nezávisí na integrační cestě v

R^{2}

. Najděte kmenovou funkci příslušného vektorového pole a vypočtěte křivkový integrál po křivce z bodu

[0, 0]

do bodu

[1, 2]

Řešení

Podmínka pro nezávislost na integrační cestě je

\begin{array}{r} \begin{aligned} 0 & = \nabla \times \vec{F} = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a x^{2} y & x^{3} + 1 & 0 \end{array} | \\ = \vec{k} (\frac{\partial}{\partial x} (x^{3} + 1) - \frac{\partial}{\partial y} (a x^{2} y)) = \vec{k} (3 x^{2} - a x^{2} y) = \vec{k} x^{2} (3 - a) \end{aligned} \end{array}

a odsud

a = 3

. Totéž dokážeme určit pomocí věty, kterou jsme se ukázali již v souvislosti s pojmem gradient, ze které vyplývá podmínka na existenci kmenové funkce ve tvaru

\begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial y} (a x^{2} y) & = \frac{\partial}{\partial x} (x^{3} + 1) \\ a x^{2} & = 3 x^{2} \\ a & = 3 \end{aligned} \end{array}

Kmenová funkce

φ (x, y)

vektorového pole

\vec{F} = (3 x^{2} y, x^{3} + 1)

splňuje

\begin{array}{r} \begin{aligned} \frac{\partial φ}{\partial x} & = 3 x^{2} y \\ \frac{\partial φ}{\partial y} & = x^{3} + 1. \end{aligned} \end{array}

Integrací dostáváme

\begin{array}{r} \begin{aligned} φ & = \int 3 x^{2} y d x = x^{3} y + C_{1} (y) \\ φ & = \int x^{3} + 1 d y = x^{3} y + y + C_{2} (x) \end{aligned} \end{array}

Porovnáním dostáváme kmenovou funkci

φ (x, y) = x^{3} y + y + C,

kde

C

je integrační konstanta. Integrál po křivce (tvar není důležitý, vzhledem k nezávislosti na integrační cestě stačí počáteční a koncový bod) je

\int_{C} \vec{F} d \vec{r} = φ (1, 2) - φ (0, 0) = 2 + 2 - 0 = 4.

7.2. Křivkový integrál pomocí kmenové funkce 2#

Video

Pro jakou hodnotu parametru $m$ je křivkový integrál

\int (6 x^{2} y + x + y) d x + (m x^{3} + x) d y

nezávislý na integrační cestě v

R^{2}

? Vypočtěte hodnotu tohoto integrálu po křivce z bodu

(2, 1)

do bodu

(1, 3)

Řešení

Podmínka pro nezávislost na integrační cestě je

\frac{\partial}{\partial y} (6 x^{2} y + x + y) = \frac{\partial}{\partial x} (m x^{3} + x) .

Po výpočtu derivací dostáváme

6 x^{2} + 1 = 3 m x^{2} + 1

a odsud

m = 2

Hledáme funkci, jejímž gradientem je vektorové pole $\vec{F} = (6 x^{2} y + x + y, 2 x^{3} + x)$ . Integrací podle $x$ a podle $y$ dostáváme

\int (6 x^{2} y + x + y) d x = 2 x^{3} y + \frac{1}{2} x^{2} + x y + C_{1} (y)

\int (2 x^{3} + x) d y = 2 x^{3} y + x y + C_{2} (x) .

Porovnáním získáme kmenovou funkci

φ (x, y) = 2 x^{3} y + \frac{1}{2} x^{2} + x y + C, C \in R .

Integrál po křivce z bodu $(2, 1)$ do bodu $(1, 3)$ má hodnotu

φ (1, 3) - φ (2, 1) = 6 + \frac{1}{2} + 3 - (16 + 2 + 2) = - \frac{21}{2} .

7.3. Kmenová funkce pomocí křivkového integrálu#

Video

Ukažte, že vektorové pole $\vec{F} = (6 x^{2} y + x + y, 2 x^{3} + x)$ má kmenovou funkci. Vypočtěte z definice křivkový integrál v tomto vektorovém poli po křivce $\vec{r} (t) = (a t, b t)$ , $t \in [0, 1]$ , tj. po úsečce z počátku do bodu $(a, b)$ a ukažte, že tímto způsobem obdržíme kmenovou funkci.

Toto je metoda, jak určit skalární potenciál z numerických dat. Pokud je vektorové pole dáno numericky, je hledání skalárního potenciálu integrováním těžce realizovatelné. Ale derivováním a výpočtem rotace je jednoduché zkontrolovat podmínku existence skalárního potenciálu a poté se dá hodnota skalárního potenciálu v libovolném bodě počítat pomocí křivkového integrálu vedoucího z počátku do daného bodu.

Řešení

Platí

\frac{\partial}{\partial y} (6 x^{2} y + x + y) = 6 x^{2} + 1 = \frac{\partial}{\partial x} (2 x^{3} + x)

a proto kmenová funkce existuje.

Derivací křivky dostáváme rovnici tečného vektoru

\frac{d \vec{r}}{d t} = (a, b)

a dosazením křivky do vektorového pole

\vec{F} (\vec{r} (t)) = (6 a^{2} t^{2} b t + a t + b t, 2 a^{3} t^{3} + a t) = (6 a^{2} b t^{3} + a t + b t, 2 a^{3} t^{3} + a t) .

Skalární součin je daný vztahem

\vec{F} \frac{d \vec{r}}{d t} = a (6 a^{2} b t^{3} + a t + b t) + b (2 a^{3} t^{3} + a t) = 8 a^{3} b t^{3} + a^{2} t + 2 a b t .

Křivkový integrál je tedy roven

\int_{C} \vec{F} d \vec{r} = \int_{0}^{1} 8 a^{3} b t^{3} + a^{2} t + 2 a b t d t = {[2 a^{3} b t^{4} + \frac{1}{2} a^{2} t^{2} + a b t^{2}]}_{0}^{1} = 2 a^{3} b + \frac{1}{2} a^{2} + a b .

Podle věty o nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě máme

φ (a, b) - φ (0, 0) = 2 a^{3} b + \frac{1}{2} a^{2} + a b

a odsud

φ (a, b) = 2 a^{3} b + \frac{1}{2} a^{2} + a b + φ (0, 0),

neboli (po přejmenování proměnných a zavedení konstanty

C

místo

φ (0, 0)

)

φ (x, y) = 2 x^{3} y + \frac{1}{2} x^{2} + x y + C .

7.4. Greenova věta#

Video

Určete integrál

\oint_{C} \vec{F} d \vec{r}

po křivce, která je kladně orientovanou hranicí jednotkového čtverce s vrcholy v bodech

(0, 0)

(1, 0)

(0, 1)

(1, 1)

pro vektorovou funkci

\vec{F} = x^{7} \vec{i} + x y \vec{j} .

Řešení

\begin{array}{r} \begin{aligned} \oint_{C} \vec{F} d \vec{r} & = \oint_{C} x^{7} d x + x y d y \\ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial x} (x y) - \frac{\partial}{\partial y} (x^{7}) d y d x \\ = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} y d y d x \\ = \int_{0}^{1} y d y \times \int_{0}^{1} d x \\ = {[\frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{1} \times 1 \\ = \frac{1}{2} \end{aligned} \end{array}

7.5. Rovnice vedení tepla v materiálech různých vlastností#

Video

Rovnice vedení tepla v ortotropním materiálu umístěném do souřadné soustavy tak, aby vlastní směry tenzoru tepelné vodivosti (jako např. anatomické směry dřeva) byly ve směru souřadnicových os má nejobecnější možné vyjádření

c ρ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (λ_{x} \frac{\partial T}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial y} (λ_{y} \frac{\partial T}{\partial y}) .

Za jakých okolností je možno veličiny

λ_{x}

λ_{y}

napsat před vnější derivaci tak, aby v rovnici vznikly druhé derivace?

Řešení

V případě, že tyto veličiny nezávisí na poloze. Materiál tedy musí být homogenní. Závislost na poloze nesmí být ani zprostředkovaná přes teplotu. Tyto veličiny tedy nesmí být ani funkcemi teploty. Jinými slovy, konstanta úměrnosti ve Fourierově zákoně se nesmí měnit s teplotou, vztah z Fourierova zákona musí být přesně lineární a takové materiály se nazývají materiály s lineární materiálovou odezvou (zkráceně lineární materiály). Veličiny $λ_{x}$ a $λ_{y}$ se dají napsat před vnější derivace pouze pokud je materiál homogenní a lineární.

7.6. Stacionární vedení tepla v žebru chladiče#

Video

../_images/chladic.jpg — Obr. 7.3 pixabay.com#

Někdy jsme nuceni do rovnice vedení tepla zahrnout i zdroje. Modelujte vedení tepla jednom v žebru chladiče.

Úlohu uvažujte jako jednorozměrnou, materiál homogenní izotropní s konstantní tepelnou vodivostí. Kolem chladiče proudí vzduch o teplotě $T_{0}$ a tím se chladič ochlazuje. V místě, kde je teplota chladiče vysoká je proces odevzdávání tepla do okolí intenzivnější. Obvykle se předpokládá, že v každém místě chladič ztrácí teplo rychlostí úměrnou rozdílu teploty v daném místě a teploty okolního vzduchu. (Koeficient úměrnosti je dán koeficientem přestupu tepla a šířkou žebra). Uvažujte stacionární děj.

Řešení

0 = - h (T - T_{0}) + \frac{d}{d x} (λ \frac{d T}{d x})

Protože máme konstantní tepelnou vodivost (a homogenita je v kovech splněna přirozeně), je možné místo kvaziderivace použít druhou derivaci.

0 = - h (T - T_{0}) + λ \frac{d^{2} T}{d x^{2}}

Ke stejnému závěru je možné dojít i přesnou analýzou ve 3D, viz Cengel, Heat transfer, kapitola 3–6 Heat transfer from finned surfaces.

Máme rovnici, kde neznámou je funkce a v rovnici figuruje druhá derivace této funkce. Takové rovnice se naučíme řešit na konci semestru. To nám odpoví na otázku, zda teplota bude podél chladiče klesat lineárně, nebo exponenciálně či nějak jinak.

Křivkový integrál pomocí potenciálu, Greenova věta, rovnice kontinuity

Obsah

7. Křivkový integrál pomocí potenciálu, Greenova věta, rovnice kontinuity#

7.1. Křivkový integrál pomocí kmenové funkce#

7.2. Křivkový integrál pomocí kmenové funkce 2#

7.3. Kmenová funkce pomocí křivkového integrálu#

7.4. Greenova věta#

7.5. Rovnice vedení tepla v materiálech různých vlastností#

7.6. Stacionární vedení tepla v žebru chladiče#