8.1.1. Tepelná výměna, káva v hrnku#

• Z fyziky víme, že rychlost tepelné výměny mezi dvěma tělesy je úměrná rozdílu jejich teplot (Newtonův zákon tepelné výměny). Rychlostí tepelné výměny můžeme rozumět například rychlost růstu teploty studeného tělesa v teplém prostředí. (Nebo rychlost poklesu teploty horkého tělesa umístěného v chladnějším prostředí.)

• Rychlost růstu teploty ${\displaystyle T}$ tělesa s časem je derivace teploty podle času. Pokud potřebujeme pracovat s poklesem, uvažujeme záporně vzatou derivaci. Úměrnost matematicky vyjádříme násobením konstantou a teplotní rozdíl může být například při umístění horkého tělesa o teplotě ${\displaystyle T}$ v chladné místnosti o teplotě ${\displaystyle T_0}$ vyjádřen rozdílem ${\displaystyle T-T_0}$.

• Proces tepelné výměny probíhající podle Newtonova zákona je tedy možno modelovat vztahem

  $$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-T_0).$$

• K rovnici v ideálním případě dodáváme materiálovou charakteristiku (konstantu úměrnosti ${\displaystyle k}$) a počáteční teplotu. Řešením je funkce udávající závislost teploty na čase. Chceme-li znát teplotu za určitý čas, není nutné provádět pokus a čekat na uplynutí požadované doby. Můžeme teplotu přímo vypočítat.

• Někdy může být vhodné nesledovat teplotu ${\displaystyle T}$, ale rozdíl oproti okolní teplotě, ${\displaystyle \tau =T-T_0}$. Model se potom zjednoduší na

  $$\frac{\mathrm{d}\tau }{\mathrm{d}t}=-k\tau ,$$
  tedy na model, kdy rychlost změny je úměrná funkční hodnotě.

8.1.2. Radioaktivní rozpad, radon ve sklepě#

• Radioaktivní prvky se rozpadají rychlostí, která je úměrná množství dosud nerozpadnutého materiálu. Rychlost, s jakou se mění množství (a tedy i koncentrace ${\displaystyle y}$ v daném vzorku) nerozpadnutého radioaktivního materiálu, je tedy popsána matematickým modelem

  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\lambda y,$$
  kde ${\displaystyle \lambda }$ je konstanta úměrnosti. Tato rovnice je přirozeným důsledkem toho, že pro daný nestabilní izotop mají všechny atomy stejnou pravděpodobnost, že u nich dojde k rozpadu a tato pravděpodobnost se s časem nemění.

• Nejznámější aplikací této rovnice je datování archeologických vzorků pomocí radioaktivního uhlíku ${\displaystyle {}^{14}C}$. V tomto případě se sleduje vzájemná relace mezi množstvím tohoto nestabilního uhlíku a množstvím stabilního ${\displaystyle {}^{12}C}$. Počáteční podmínka je známa (předpokládáme stejný poměr zastoupení jako relativně nedávno, před průmyslovou revolucí) a díky tomu můžeme najít funkci udávající, jak s časem klesá zastoupení radioaktivního uhlíku. Obsah radioaktivního i stabilního uhlíku je možné změřit a tím získáme odhad, kolik procent radioaktivního uhlíku se rozpadlo. Řešení počáteční úlohy poté použijeme pro odhad doby, kdy organismus přestal spotřebovávat uhlík z atmosféry, tj. odhad stáří vzorku.

• Při pokusu o datování kostí dinosaurů klesne množství radioaktivního uhlíku pod měřitelnou úroveň. Proto se v tomto případě používají látky s delším poločasem rozpadu.

• Optikou běžného života je nejzajímavější aplikací této rovnice model rozpadu v radioaktivní řadě uranu. V tomto případě vzniká plynný radioaktivní radon, který se může hromadit ve stavbách a je po kouření druhou nejčastější příčinou vzniku rakoviny plic. Proto je v rizikových lokalitách nutné hromadění radonu eliminovat. Toho dosahujeme buď vhodnými konstrukčními přístupy nebo aktivními zařízeními na lapání a odvětrávání radonu.

8.1.3. Samočištění jezer, kontaminace v jezeře#

• Nechť veličina ${\displaystyle y}$ udává množství látky, která znečišťuje vodu v jezeře o objemu ${\displaystyle V}$.

• Předpokládejme, že do jezera přitéká čistá voda a stejnou rychlostí odtéká voda s nečistotami (hladina se nemění, je v ustáleném stavu). Nechť veličina ${\displaystyle r}$ udává, jaký objem vody se v jezeře takto vymění za jeden den. Předpokládejme dále (poněkud nerealisticky), že rozdělení znečišťujících částic v jezeře je rovnoměrné.

• Úbytek hmotnosti nečistot za časovou jednotku je dán derivací ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}$.

• Protože koncentrace nečistot v jezeře a v odtékající vodě je ${\displaystyle \frac{y}{V}}$, je úbytek znečištění možno vyjádřit též ve tvaru ${\displaystyle \frac{r}{V}y}$. Podíl ${\displaystyle \frac{r}{V}}$ je pro dané jezero kladná konstanta udávající, jak velká část z celkového množství vody se v jezeře vymění za časovou jednotku. Označíme-li tuto konstantu symbolem ${\displaystyle k}$, je proces úbytku nečistot v jezeře popsán vztahem

  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-ky.$$

• Výše uvedený model se nazývá rovnice samočištění jezer, ale tento název je čistě formální. Jedná se vlastně o stejnou rovnici, která popisuje radioaktivní rozpad nebo změnu rozdílu mezi teplotou horkého nápoje a místnosti při chladnutí nápoje.

• Stejnou rovnicí je možné popsat nejenom odbourávání nečistot z životního prostředí, ale i odbourávání léků nebo drog z těla. Považujme krevní oběh za jezero a lék nebo drogu za znečišťující látku. V případě, že rychlost odbourávání je úměrná koncentraci (platí pro farmakokinetiku prvního řádu, toto splňuje většina léčiv za běžných koncentrací), řídí se proces odbourávání stejnou diferenciální rovnicí.

8.1.4. Akutní normovolemická hemodiluce aneb o krvinky neradi přicházíme#

• Při chirurgické operaci dochází ke krvácení. Pacient ztrácí krev a s ní i krvinky. Při konstantní intenzitě krvácení to znamená, že pacient ztrácí krvinky rychlostí úměrnou počtu krvinek. Formálně na krvinky v krvi můžeme pohlížet stejně jako na znečištění jezera. Jedná se o stejný proces vyplavování látek obsažených v tekutině, jenom měníme interpretaci veličin.

• Pokud očekáváme takový průběh operace, že i po uvedeném poklesu bude pořád množství krvinek nad minimální přípustnou hodnotou, je možné před operací toto množství snížit tím, že se část krve odebere a krev se poté doplní vhodnými roztoky.

• Protože pacient bude mít po výše uvedeném zákroku už od začátku operace menší počet krvinek, ztrácí tyto krvinky pomaleji a celkový úbytek během operace je menší. Na konci operace se pacientovi vrátí dříve odebraná krev. Výsledkem je, že po operaci v jeho těle koluje více krvinek, než pokud by byl operován s „původní krví“.

• Aby metoda fungovala, je nutné odhadnout ztrátu krve během operace. Modelování pomocí matematických metod dokáže předpovědět, kolik krve odebrat na začátku tak, aby i po plánované době operace zůstaly krevní hodnoty pacienta v bezpečných mezích. Pokud na začátku operace část krve dáme bokem a poté tekutiny doplňujeme fyziologickým roztokem (s tím, že vlastní krev vrátíme po skončení operace), jedná se o stejný proces a stejnou rovnici jako samočištění jezer. Pokud krev doplňujeme během operace z krve dopředu odebrané, dokážeme model samočištění jezer modifikovat pro daný proces.

• Metoda akutní normovolemické hemodiluce nachází v současné praxi široké využití v řadě operačních oborů. Poskytuje totiž možnost vyhnout se podání alogenní krevní transfuze a tím eliminovat rizika z ní vyplývající. Současně je tato metoda výrazně finančně levnější a její přínos je tak i ekonomický. (Podle https://zdravi.euro.cz/)

8.1.5. RC obvod a chytré stěny ve dřevostavbách.#

Při nabíjení kondenzátoru o kapacitě ${\displaystyle C}$ přes odpor o velikosti ${\displaystyle R}$ roste napětí na kondenzátoru, tím se mění nabíjecí proud. Tím se mění i rychlost nabíjení. Pomocí zákonů elektrotechniky je možno ukázat, že nabíjecí proud ${\displaystyle i}$ kondenzátoru se řídí vztahem

Rovnice je tedy stejná jako rovnice radioaktivního rozpadu a rovnice samočištění jezer. Vhodnou manipulací s parametry součástek je možno měnit koeficient u této rovnice a vhodným spojováním těchto obvodů dokážeme podobně simulovat i složitější rovnice. To bylo základem analogových počítačů, které nepracovaly s čísly, ale s napětími. Tyto počítače sehrály svou roli v době, kdy číslicové počítače byly nedostupné, pomalé a nespolehlivé. Tím byla historická úloha analogových počítačů splněna a již se nepoužívají.

RC obvod jako takový má však důležité místo i dnes. Dokáže například filtrovat signály podle frekvence. Výpočet jeho charakteristiky (tj. vyřešení rovnice) a sledování napětí na kondenzátoru umožní měření elektrického odporu tam, kde není vhodné odpor určovat z proudu a napětí pomocí Ohmova zákona. Typickým příkladem je odpor dřeva a jeho vodivost, tj. převrácená hodnota odporu. Tato veličina se používá k rychlému stanovení vlhkosti dřeva, nebo je možno ji dlouhodobě sledovat pomocí senzorů zabudovaných do dřevostavby.

Ve skutečnosti žádná elektronická součástka nemá ideální vlastnosti, a proto se v obvodu projevují i nežádoucí parazitní charakteristiky. Pokud by toto bylo limitující, je možné obvod nahradit podobně se chovajícím zapojením s operačním zesilovačem (odkazovaná stránka pracuje s rovnicí v integrálním tvaru).

8.1.6. Vývoj populace a její ekologický lov#

• Zkoumejme velikost ${\displaystyle y}$ určité populace v prostředí s nosnou kapacitou ${\displaystyle K}$.

• Realistickým předpokladem dodaným biologickými vědami je, že v prostředí s omezenými úživnými vlastnostmi specifická míra růstu populace (rychlost, s jakou se velikost populace zvětšuje vztažená na jednotkové množství populace) klesá s tím, jak se velikost populace přibližuje k nosné kapacitě, a rychlost růstu populace je modelována funkcí ${\displaystyle ry(1-\frac{y}{K})}$. Podle velkosti koeficientů v této funkci dělíme živočichy na r-stratégy a K-stratégy a toto dělení odráží, jak se snaží druh vyrovnávat se změnami prostředí.

• Za uvedených předpokladů je možno vývoj populace popsat modelem

  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ry(1-\frac{y}{K}),$$
  který se nazývá logistická rovnice.

• Pokud lovem snížíme přírůstky populace, můžeme tento proces popsat modelem

  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ry(1-\frac{y}{K})-h(y),$$
  kde ${\displaystyle h(y)}$ je intenzita lovu populace o velikosti ${\displaystyle y}$. Modelování tohoto procesu umožní nalezení trvale udržitelné strategie lovu.

8.1.7. Lovci meteoritů z ČSSR a ČR#

Česká republika je na světové špičce ve oblasti propočítávání dráhy meteoritů ze světelné stopy zachycené sítí bolidových kamer. Vědcům z Astronomického ústavu se podařilo

• jako prvním na světě najít pozůstatky meteoritu propočítáním jeho dráhy ze snímků zachycených speciálními kamerami a zpětně propočítat, odkud meteorit přiletěl (meteorit Příbram, 1959, první „meteorit s rodokmenem“, tj. s doloženým původem),

• jako prvním na světě najít pozůstatky meteoritu 20 let po dopadu použitím analýz, které v době dopadu meteoritu nebyly k dispozici (meteorit Benešov, dopad 1991, nalezen 2011),

• propočítat a najít (mimo jiné i na dně jezera!) zbytky meteoritu Čeljabinsk z roku 2013.

Meteority s vystopovaným původem jsou extrémně vzácné (do roku 2000 jenom 5 meteoritů, do roku 2016 pouze 31 meteoritů) a tým založený Zdeňkem Ceplechou a nyní vedený Pavlem Spurným se podílel na výpočtu drah většiny z nich. Použité metody jsou popsány například v článku Ceplecha, Revelle: Fragmentation model of meteoroid motion, mass loss, and radiation in the atmosphere, Meteoritics & Planetary Science 40, Nr 1, 35–54 (2005). Například ztráta rychlosti třením v atmosféře je modelována rovnicí

8.2.1. Obecné a partikulární řešení#

Řešení diferenciální rovnice je nekonečně mnoho. Zpravidla je dokážeme zapsat pomocí jediného vzorce, který obsahuje nějakou (alespoň do jisté míry libovolnou) konstantu ${\displaystyle C}$. Takový vzorec se nazývá obecné řešení rovnice. Pokud není zadána počáteční podmínka a mluvíme o partikulárním řešení, máme tím na mysli jednu libovolnou funkci splňující diferenciální rovnici.

Příklad: Obecným řešením diferenciální rovnice

Online řešiče ODE (symbolicky):

• Wolfram Alpha

• Sage

8.3.1. Geometrická interpretace ODE#

Protože derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě, lze rovnici

Počáteční podmínka ${\displaystyle y(x_0)=y_0}$ geometricky vyjadřuje skutečnost, že graf příslušného řešení prochází v rovině bodem ${\displaystyle [x_0,y_0]}$. Má-li tato počáteční úloha jediné řešení, neprochází bodem ${\displaystyle [x_0,y_0]}$ žádná další křivka. Má-li každá počáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častý případ), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají.

Křivky s konstantní hodnotou ${\displaystyle \phi (x,y)}$ mají tu vlastnost, že je všechna řešení protínají pod stejným úhlem, měřeným od kladné části osy ${\displaystyle x}$. Například v bodech kde platí ${\displaystyle \phi (x,y)=0}$ míří všechny integrální křivky vodorovně. Proto se křivky, kde je ${\displaystyle \phi (x,y)}$ konstantní, nazývají izokliny.

8.3.2. Numerické řešení IVP#

Numerické řešení diferenciálních rovnic je základním nástrojem pro ukázku průběhu simulací pro dané hodnoty parametrů a počátečních podmínek. Jedná se o velice užitečnou a široce používanou činnost při inženýrských simulacích. Neprofesionálům často musí stačit použít hotové postupy, procedury a nástroje. Například Python je jednou z nejvhodnějších voleb.

Online řešiče ODE (numericky):

• Sage

• Python

8.3.3. Transformace diferenciální rovnice#

Naučíme se vyjadřovat diferenciální rovnici v jiných proměnných tak, aby bylo možné snížit počet parametrů v této rovnici. Pro jednoduchost budeme uvažovat jenom případ, kdy nová proměnná je lineární funkcí původní proměnné.

Uvažujme funkci ${\displaystyle y}$ proměnné ${\displaystyle x}$. Připomeneme si vzorce pro derivaci součtu, derivaci konstantního násobku a derivaci složené funkce, ale uvedeme si je v kontextu vhodném pro studium diferenciálních rovnic.

• Z derivace součtu a z derivace konstanty plyne pro funkci ${\displaystyle y}$ a konstantu ${\displaystyle y_0}$ vztah

  $$\frac{\mathrm{d}(y\pm y_0)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\pm \frac{\mathrm{d}{y}_0}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\pm 0=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

• Z derivace konstantního násobku funkce plyne pro funkci ${\displaystyle y}$ a konstantu ${\displaystyle k}$ vztah

  $$\frac{\mathrm{d}(ky)}{\mathrm{d}x}=k\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

• Z derivace složené funkce plyne pro konstantu ${\displaystyle k}$ a veličinu ${\displaystyle X=kx}$ vztah

  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}X}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}X}k$$
  tj.
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}(kx)}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}X}=\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

Výše uvedené výpočty je možno shrnout do pravidla v následující poznámce.

Navíc vzorec z poznámky silně připomíná klasické počítání se zlomky. Proto máme Leibnizův tvar zápisu derivací ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ při studiu diferenciálních rovnic více v oblibě, než zápis Lagrangeův, ${\displaystyle y^{\prime }}$.

Příklad. Diferenciální rovnice tepelné výměny

obsahuje tři parametry: teplotu okolního prostředí ${\displaystyle T_{\mathrm{\infty }}}$, počáteční teplotu ${\displaystyle T_0}$ a konstantu ${\displaystyle k}$ související s fyzikálními vlastnostmi prostředí. Postupně můžeme posunout teplotní stupnici tak, aby teplota okolí byla nula a počáteční teplota jedna, tj. hodnotu ${\displaystyle T}$ snížíme o ${\displaystyle T_{\mathrm{\infty }}}$ a upravíme dílek stupnice ${\displaystyle (T_0-T_{\mathrm{\infty }})}$-krát

Nová rovnice (**) neobsahuje žádné parametry a proto je pro studium jednodušší. Přesto je v ní obsažena veškerá informace obsažená v rovnici (8.5). Tuto informaci je však nutno interpretovat v kontextu definice nových proměnných. Například to, že všechna řešení rovnice (8.5) konvergují k nule znamená, že všechna řešení rovnice (8.5) konvergují k ${\displaystyle T_0}$. To, že řešení rovnice (8.6) klesne na poloviční hodnotu za čas ${\displaystyle \ln 2}$ znamená, že vzdálenost řešení rovnice (8.5) od rovnovážného stavu se na polovinu zmenší za čas ${\displaystyle \frac{1}{k}\ln 2}$.

8.6.1. Jednorozměrný případ#

Ukážeme si , že parciální diferenciální rovnice popisující tok tepla nebo tok podzemní vody se ve speciálních případech redukují na diferenciální rovnice, jaké jsme se právě naučili řešit.

Uvažujme tok tepla stěnou o tloušťce ${\displaystyle d}$, která odděluje dvě prostředí o teplotách ${\displaystyle T_1}$ a ${\displaystyle T_2}$.

Stacionární tok tepla v jedné dimenzi je dán rovnicí

8.6.2. Dvourozměrný radiálně symetrický případ#

Jiný případ, kdy je možno redukovat složitost problému na jednu dimenzi, je stacionární děj v rovině, kdy je situace radiálně symetrická. K tomu je nutno transformovat divergenci a gradient do polárních souřadnic. Příslušné vzorce nebudeme odvozovat, dodá je Wikipedie.

• Uvažujme například horkou trubku ochlazovanou zvenčí a proudění tepla radiálně směrem od středu. Teplota ${\displaystyle T}$ je funkcí vzdálenosti ${\displaystyle r}$ od středu a po transformaci gradientu a divergence do polárních souřadnic se stacionární bezzdrojová rovnice vedení tepla

  $$0=\mathrm{\nabla }\cdot (k\mathrm{\nabla }T)$$
  redukuje na
  $$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(kr\frac{\partial T}{\partial r}\right)=0.$$
  Parciální derivace se opět redukují pro funkci jedné proměnné na obyčejné derivace a stejně jako v předchozím případě můžeme integrovat na
  $$kr\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}=C_1.$$
  Odsud
  $$k\mathrm{d}T=\frac{C_1}{r}\mathrm{d}r$$
  a
  $$kT=C_1\ln \left(r\right)+C_2.$$
  Konstanty ${\displaystyle C_1}$ a ${\displaystyle C_2}$ se určí z teplot na vnitřním a vnějším povrchu trubky.

• Stejný vzorec platí pro analogické radiální proudění podzemní vody při proudění s napjatou hladinou. Toho se využívá při čerpacích zkouškách nebo při umělém snižování hladiny spodní vody. Po dosazení relevantních veličin a výpočtu konstant se odvozený vzorec uvádí ve tvaru

  $$h-h_0=\frac{Q}{2\pi T}\ln \frac{r}{r_0}$$
  a nazývá Thiemova rovnice.

• Předchozí postup můžeme modifikovat i pro radiální proudění s volnou hladinou, tj. proudění modelované rovnicí

  $$\mathrm{\nabla }\cdot (K\mathrm{\nabla }h)=0,$$
  kde ${\displaystyle K=kh}$ je materiálová konstanta pro proudění s volnou hladinou. Jako v předchozím případě přejdeme do proměnné ${\displaystyle r}$ a dostáváme
  $$khr\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}r}=C_1.$$
  Odsud
  $$h\mathrm{d}h=\frac{C_1}{kr}\mathrm{d}r$$
  a
  $$\frac{1}{2}{h}^2=\frac{C_1}{k}\ln \left(r\right)+C_2.$$
  Zpravidla se tato rovnice používá pro stanovení vydatnosti čerpané studny a konstanty ${\displaystyle C_1}$ a ${\displaystyle C_2}$ určíme z výšky hladiny ve studni a z výšky hladiny v kontrolním vrtu nedaleko studny. Tento vztah umožňuje například navrhnout průměr studny, odhadnout vydatnost studny, nebo pomocí odčerpávaného vrtu a menších pomocných vrtů sledujících pokles hladiny v okolí odčerpávaného vrtu stanovit filtrační součinitel ${\displaystyle k}$. Využití vzorce je však mnohem rozmanitější, umožňuje vypočítat poměry ve stavebních jámách a v jejich okolí. To je užitečné například při odhadu, kolik vody se hromadí ve výkopu. Další využití je, že dokážeme odhadnout vliv stavební jámy na hydrologické poměry v okolí a tyto poměry dokážeme měnit a přizpůsobovat našim potřebám. Častou aplikací je také hydraulická clona (soustava prvků rozmístěných a provozovaných tak, aby nedocházelo k šíření kontaminace z chemické výroby do vodárensky využívaných vod). V tomto případě je však situace komplikovanější, protože je nutné zkombinovat dostředivé proudění k čerpanému vrtu s rovinným prouděním podzemní vody. Toto se naučíme v příští přednášce a využijeme linearitu.