11. Diferenciální rovnice druhého řádu

11.1. Okrajová úloha

Ukažte, že úloha

\[y''-my=0, \quad y(0)=0=y(1), \ m>0\]

má pouze nulové řešení.

Řešení

Charakteristcká rovnice je

\[\lambda^2-m=0\]

s reálnými kořeny \(\displaystyle \lambda_{1,2}=-\sqrt m\). Obecným řešením je funkce

\[y(t)=C_1 e^{\sqrt m t} + C_2 e^{-\sqrt m t}\]

a dosazením získáváme

\[y(0)=C_1 + C_2 =0\]

a

\[y(1)=C_1 e^{\sqrt m} + C_2 e^{-\sqrt m}=0.\]

Z první rovnice dostáváme \(\displaystyle C_2=-C_1\) a druhá rovnice má tvar

\[C_1 e^{\sqrt m} - C_1 e^{-\sqrt m}=0.\]

Odsud

\[C_1 (e^{\sqrt m} - e^{-\sqrt m})=0 \]

a \(\displaystyle C_1=0\). Poto však \(\displaystyle C_2=-C_1=0\) a řešení se redukuje na

\[y(t)=0 e^{\sqrt m t} + 0 e^{-\sqrt m t}=0\]

tj. na konstantní nulovou funkci.

11.2. Okrajová úloha pro rovnici žebra chladiče

V určitých speciálních případech má smysl formulovat i jiné typy okrajových podmínek, než podmínky na funkční hodnotu (Dirichletova) nebo derivaci (Neumannova) případně na jejich kombinace. Například může být přirozené požadovat ohraničenost.

Ve cvičení věnovaném difuzní rovnici jsme se zabývali problematikou žebra chladiče z materiálu s koeficientem tepelné vodivosti \(\displaystyle \lambda\) v prostředí o teplotě \(\displaystyle T_0\). Naformulovali jsme rovnici pro stacionární rozložení teploty ve tvaru

\[\lambda \frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dx^2} -h (T-T_0) =0, \]

kde \(\displaystyle h\) je koeficient úměrnosti, popisující přestup tepla z chladiče do vnějšího prostředí.

• Uvažujte dlouhý chladič a ukažte, že teplota klesá exponenciálně s polohou k teplotě okolí.

• Ze zkušenosti očekáváme, že pro materiál, který lépe vede teplo, bude konec chladiče více horký. Teplota jako funkce polohy bude klesat pomaleji. Je to splněno pro případ z předchozího bodu? Vysvětlete, odkud to vidíme, nebo zdůvodněte, v jaké situaci tomu tak být nemusí.

• Ze zkušenosti očekáváme, že pokud bude teplo intenzivněji vyzařováno do okolí, bude teplota na konci nižší. Při pomalejším vyzařování (například světlá barva chladiče a izolující nános prachu) bude teplota na konci vyšší. Je to splněno pro případ z předchozího bodu? Vysvětlete, odkud to vidíme, nebo zdůvodněte, v jaké situaci tomu tak být nemusí.

Řešení

Jedná se o nehomogenní rovnici

\[\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dx^2} - \frac {h}{\lambda} T = -\frac {h}{\lambda} T_0.\]

Tato rovnice má evidentně konstantní řešení, protože pokud je teplota ochlazované součástky stejná jako teplota okolí, bude teplota žebra chladiče v každém bodě rovna hodnotě \(\displaystyle T_0\). Tuto skutečnost můžeme ověřit i dosazením.

Asociovaná homogenní rovnice má tvar

\[\frac{\mathrm d^2T}{\mathrm dx^2} - \frac {h}{\lambda} T = 0.\]

Charakteristický polynom (v proměnné \(\displaystyle z\))

\[z^2 - \frac {h}{\lambda} = 0\]

má kořeny

\[z_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{h}\lambda}\]

a obecné řešení rovnice je

\[ T (x) = T_0 + C_1 e^{\sqrt{\frac{h}\lambda} x} + C_2 e^{-\sqrt{\frac{h}\lambda} x}.\]

• Pro dlouhý chladič musí být teplota ohraničená, proto platí \(\displaystyle C_1=0.\)

• Teplota chladiče je větší než teplota okolí. Proto dále platí \(\displaystyle C_2>0\).

Stacionární teplota jako funkce polohy je tedy dána vztahem

\[ T (x) = T_0 + C e^{-\sqrt{\frac{h}\lambda} x},\]

kde \(\displaystyle C\) je kladná konstanta. Teplota podél žebra klesá exponenciálně s polohou k hodnotě \(\displaystyle T_0\).

Pokles je exponenciální funkce \(\displaystyle e^{-z x}\) je rychlejší, pokud je numericky větší hodnota \(\displaystyle z\).

Pokud materiál lépe vede teplo, je hodnota \(\displaystyle \lambda\) větší. Protože je tato hodnota ve jmenovateli zlomku, je hodnota

\[ \sqrt{\frac h\lambda} \]

menší. To znamená, že exponenciální faktor se mění pomaleji a funkce klesá pomaleji. Pro hodně dobrý vodič tepla je teplota podél žebra prakticky konstantní.

Pokud je teplo intenzivněji vyzařováno do okolí, je vyšší hodnota \(\displaystyle h\). Proto je i vyšší hodnota

\[ \sqrt{\frac h\lambda}.\]

To znamená, že koeficient v exponentu je zápornější a exponenciální část klesá rychleji k nule.

Pro zadané pevné \(\displaystyle x\) a kladné \(\displaystyle C\) je funkce

\[T=T_0+C e^{-\sqrt{\frac h\lambda}x}\]

rostoucí funkcí proměnné \(\displaystyle \lambda\) a klesající funkcí proměnné \(\displaystyle h\). Řešení úlohy se tedy chová v souladu s očekáváním.

11.3. Separace proměnných ve vlnové rovnici, kmity struny

Rovnice kmitů struny je (po eliminaci konstant)

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

s nulovými okrajovými podmínkami na koncích. Je-li délka struny \(\displaystyle l\), platí pro výchylku \(\displaystyle u(x,t)\) podmínky \(\displaystyle u(0,t)=u(l,t)=0\) v libovolném čase \(\displaystyle t\).

Budeme řešení hledat ve tvaru \(\displaystyle u(x,t)=\varphi(x)\psi(t)\), kde \(\displaystyle \varphi\) a \(\displaystyle \psi\) jsou funkcemi jedné proměnné. Platí

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\varphi(x)\psi''(t), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\varphi''(x) \psi(t)\]

a rovnice má tvar

\[\varphi(x)\psi''(t)=\varphi''(x)\psi (t).\]

Vydělením této rovnice součinem \(\displaystyle \varphi(x)\psi(t)\) dostáváme

\[\frac {\psi''(t)}{\psi(t)}=\frac{\varphi''(x)}{\varphi (x)}.\]

Toto je rovnice, kde levá strana je funkcí proměnné \(\displaystyle t\) a pravá strana funkcí proměnné \(\displaystyle x\). Obě proměnné jsou však nezávislé a uvedená rovnost může být splněna jen tehdy, když se rovnají společné konstantě. Označme tuto konstantu \(\displaystyle -\lambda^2\). Platí tedy

\[\frac {\psi''(t)}{\psi(t)}=-\lambda ^2,\quad \frac{\varphi''(x)}{\varphi (x)}=-\lambda ^2.\]

• První rovnice představuje lineární diferenciální rovnici druhého řádu

  \[\psi''+\lambda^2\psi=0.\]
  Její charakteristická rovnice
  \[z^2 +\lambda^2=0\]
  má řešení
  \[z_{1,2}=\pm i\lambda\]
  a proto platí
  \[\psi(t)=C_1\cos(\lambda t) + C_2\sin(\lambda t).\]
  Konstanta \(\displaystyle C_1\) souvisí s počáteční výchylkou, konstanta \(\displaystyle C_2\) s počáteční rychlostí a konstanta \(\displaystyle \lambda\) s frekvencí kmitů.

• Druhá rovnice představuje lineární diferenciální rovnici druhého řádu

  \[\varphi''+\lambda^2\varphi=0\]
  a okrajové podmínky si vynucují platnost vztahů \(\displaystyle \varphi(0)=\varphi(l)=0\). Máme tedy Dirichletovu úlohu na vlastní čísla a vlastní funkce, jak jsme ji použili v přednášce. Řešením je funkce \(\displaystyle \varphi(x)=\sin\left (k\frac{\pi}l x\right)\), kde \(\displaystyle k\in\mathbb N\).

• Spojením obdržených výsledků dostáváme rovnici popisující kmity na \(\displaystyle k\)-té vlastní frekvenci ve tvaru

  \[u_k(x,t)=\psi(t)\varphi(x)=\left[C_1\cos\left(k\frac{\pi}l t\right) + C_2\sin\left(k\frac{\pi}l t\right)\right]\sin\left (k\frac{\pi}l x\right).\]

• Spojením kmitů na všech frekvencích dostaneme řešení rovnice ve tvaru

  \[u(x,t) = \sum_{k=1}^\infty \left[C_1\cos\left(k\frac{\pi}l t\right) + C_2\sin\left(k\frac{\pi}l t\right)\right]\sin\left (k\frac{\pi}l x\right).\]
  Tento vzorec je dostatečně flexibilní, abychom dokázali splnit libovolné počáteční podmínky a proto v sobě obsahuje všechna řešení. Praktická využitelnost vzorce v reálných případech je diskutabilní, proto často používáme numerické simulace využívající numerické řešení zadané rovnice za daných počátečních a okrajových podmínek.