3. Divergence, rovnice vedení tepla

Anotace.

• V úvodu si zkusíme vypočítat několik divergencí pro získání určité míry jistoty při práci s tímto operátorem.

• Poté vypočteme divergenci vektorového pole, které dostaneme jako záporně vzatý gradient stavové veličiny vynásobený difuzní maticí. Přesně takto se s divergencí pracuje v aplikacích, abychom zjistili, kde tok nabývá na intenzitě a kde naopak slábne.

• V závěru si zopakujeme difuzní rovnici a jak se některé členy této rovnice mohou za speciálních podmínek zjednodušit.

3.1. Divergence vektorového pole

Video

1. Vypočtěte divergenci vektorového pole

   \[\vec F=x^2y\vec \imath + (x+y^2)\vec \jmath.\]

2. Zakreslete do obrázku směr toku vektorového pole v bodě \(\displaystyle (2,1)\).

3. Vypočtěte divergenci vektorového pole v bodě \(\displaystyle (2,1)\) a podle toho, zda je kladná nebo záporná rozhodněte, zda tok v daném bodě sílí nebo slábne.

4. Předpokládejme, že dané vektorové pole reprezentuje stacionární tok. Je v bodě \(\displaystyle (2,1)\) zdroj nebo spotřebič?

Řešení

1. \(\displaystyle \nabla \cdot \vec F=\pdv{x}(x^2y)+\pdv{y}(x+y^2)=2xy+(0+2y)=2y(x+1)\)

2. \(\displaystyle \vec F(2,1)=2^2\cdot 1\cdot \vec \imath + (2+1^2)\vec \jmath=4\vec\imath+3\vec\jmath=(4,3)\), tj. vektorové pole teče směrem doprava nahoru směrem daným směrnicí \(\displaystyle 0.75\), tj. pod úhlem menším než \(\displaystyle 45^\circ\).

3. \(\displaystyle \nabla\cdot\vec F(2,1)=2\cdot 1 \cdot(2+1)=6>0\). Divergence je kladná a proto se tok zahušťuje.

4. Zdroj (kladná divergence).

3.2. Divegrence vektorového pole s parametrem

Video

1. Vypočtěte divergenci vektorového pole

   \[\vec F=ax^3y^2\vec \imath + 3x^2y\vec \jmath,\]
   kde \(\displaystyle a\in\mathbb R\) je reálný parametr.

2. Určete hodnotu parametru \(\displaystyle a\) tak, aby pole bylo v bodě \(\displaystyle (-1,2)\) nezřídlové, tj. aby mělo nulovou divergenci v bodě \(\displaystyle (-1,2)\).

Řešení

1. \(\displaystyle \nabla \cdot \vec F=\pdv{x}(ax^3y^2)+\pdv{y}(3x^2y)=3ax^2y^2+3x^2=3x^2(ay^2+1)\)

2. \(\displaystyle \nabla \cdot \vec F (-1,2)=3(-1)^2(a\cdot 2^2+1)=3(4a+1)\) a \(\displaystyle \nabla \cdot \vec F (-1,2)=0\) pokud \(\displaystyle 3(4a+1)=0\), tj. \(\displaystyle a=-\frac 14\).

3.3. Rovnice vedení tepla v dvourozměrném materiálu

Video

Obr. 3.12 Zdroj: pixabay.com

Teplota ve dvourozměrné desce pro \(\displaystyle 0\leq x\leq 10\) a \(\displaystyle 0\leq y\leq 10\) zachycené v určitém okamžiku termokamerou je popsána rovnicí

\[T(x,y)=(2x-y)^2+x^4.\]

Rozměry jsou v centimetrech a teplota ve stupních Celsia. (Formálně to nevychází, ale ke každému členu můžeme dodat konstantu, která jeho rozměr opraví. Pro jednoduchost tuto komplikaci vynecháme.)

1. Vypočtěte gradient \(\displaystyle \nabla T\) a tok tepla \(\displaystyle -k \cdot \nabla T.\) Součinitel tepelné vodivosti (v jednotkách kompatibilních se zadáním) je \(\displaystyle k= \begin{pmatrix} 4 & 1\\1&6 \end{pmatrix}.\)

2. Určete, zda na levém okraji desky teče teplo dovnitř do desky nebo z desky ven.

3. Vypočtěte divergenci toku tepla, tj. \(\displaystyle \nabla\cdot(-k \cdot \nabla T).\)

4. V desce nejsou zdroje tepla. Ochlazuje se deska uprostřed, nebo otepluje?

Řešení

1. Gradient je vektor složený z parciálních derivací.

   \[\nabla T=\qty( 4(2x-y)+4x^3,-2(2x-y))^T\]
   Tok je tenzor vodivosti maticově vynásobený s gradientem teploty a faktorem \(\displaystyle (-1)\).
   \[\begin{split}-k\cdot \nabla T=- \begin{pmatrix} 4&1\\1&6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4(2x-y)+4x^3\\-2(2x-y) \end{pmatrix} =- \begin{pmatrix} 14(2x- y)+16x^3\\-8(2x- y)+4x^3 \end{pmatrix}\end{split}\]

2. Do vztahu pro tok dosadíme rovnici levého okraje desky, tj. \(\displaystyle x=0\).

   \[\begin{split}-k\cdot \nabla T (x=0)= \begin{pmatrix} 14y\\-8y \end{pmatrix} \end{split}\]
   Na levém okraji desky je \(\displaystyle y>0\) a proto \(\displaystyle 14y>0\). Tok míří doprava a teplo teče na tomto okraji do desky.

3. Vypočteme divergenci toku určeného v prvním bodě.

   \[\begin{split} \begin{aligned} \nabla \cdot (-k\cdot \nabla T )&=\pdv{x}(-14(2x- y)-16x^3)+\pdv{y}(8(2x- y)-4x^3)\\&=-48x^2-28-8\\&=-48x^2-36 \end{aligned} \end{split}\]

4. Do vztahu pro diveregenci dosadíme bod, který nás zajímá.

   \[\nabla \cdot (-k\cdot \nabla T )(x=5,y=5)=-1236\]
   Tok tepla se zmenšuje a protože jde o stav bez zdrojů, teplo se v daném místě akumuluje a deska se proto otepluje. Z rovnice vedení tepla
   \[\rho c\pdv{T}{t}=\nabla\cdot(k \cdot \nabla T)\]
   plyne v daném bodě
   \[\rho c\pdv{T}{t}=1236\]
   a můžeme dokonce odhadnout, jak rychle teplota roste.

Sage

3.4. Vedení tepla v různých materiálech

Video

1. Zapište rovnici vedení tepla v trojrozměrném izotropním a v trojrozměrném ortotropním materiálu. Ve druhém případě volte osy ve směru vlastních vektorů.

2. Napište, jak je možné zjednodušit rovnice z předchozího bodu, pokud jsou materiálové konstanty nezávislé na poloze (homogenní materiál) a na teplotě (lineární materiál).

Řešení

Pomůže cheatsheet

1. Izotropní: \(\displaystyle \varrho c \pdv{T}{t} = \pdv{x}(k\pdv{T}{x})+\pdv{y}(k\pdv{T}{y})+\pdv{z}(k\pdv{T}{z})\)

   Ortotropní: \(\displaystyle \varrho c \pdv{T}{t} = \pdv{x}(k_x\pdv{T}{x})+\pdv{y}(k_y\pdv{T}{y})+\pdv{z}(k_z\pdv{T}{z})\)

2. Izotropní: \(\displaystyle \varrho c \pdv{T}{t} = k\left(\pdv[2]{T}{x} + \pdv[2]{T}{y} + \pdv[2]{T}{z}\right)\)

   Ortotropní: \(\displaystyle \varrho c \pdv{T}{t} = k_x\pdv[2]{T}{x}+k_y\pdv[2]{T}{y}+k_z\pdv[2]{T}{z}\)

Testová otázka