Derivace

1. Přednáška o derivacích, základním stavebním kamenu pro studium funkcí. Naučíme se matematicky popsat rychlost. Ve cvičení se naučíme derivovat a tuto znalost využijeme v týdnech bezprostředně následujících. Naučíme se například pro veličiny spojené fyzikálním vzorcem najít souvislost mezi rychlostmi změn těchto veličin. Jedna z aplikací je měření odporu dřeva pro stanovení vlhkosti.

   • Přednáška 1 (Derivace funkce)
   • Cvičení 0 (Úvod)
   • Cvičení 1 (Základy derivací)
   • Cvičení 2 (Využití derivací v matematických modelech)

2. Naučíme se využít derivace k rozumné aproximaci funkcí a fyzikálních zákonů. Tím se mnoho vztahů stane významně jednoduššími a matematické modely se stanou spočitatelnými i bez superpočítačů. Ukážeme si dále polynomiální aproximaci, která umožní zachytit jevy z podstaty nelineární, jako je například laser. Ale rozebereme si i řešitelnost rovnic a možnosti jejich numerického řešení.

   • Přednáška 2 (Derivace a lineární aproximace)
   • Cvičení 3 (Výpočet derivací, lineární aproximace)

3. Další využití derivací, tentokrát zaměřeno na extrémy. Naučíme se hledat optimální stavy systému. Například jak vyřezat co nejtužší nosník z kulatiny (musím řezat obdélníkový profil). Seznámíme se s pojmem gradient, který dokáže identifikovat směr podnětů dávajících do pohybu vedení tepla nebo transport látek. A poprvé se seznámíme s bezrozměrnými veličinami, které přijdou ke slovu i později.

   • Přednáška 3 (Derivace a další užitečné nástroje)
   • Cvičení 4 (Lokální extrémy)

Integrál

1. Derivaci jsme poznali jako míru měřící rychlost změn a nyní si uvedeme opačnou úlohu. Znalost rychlosti s jakou se mění nějaká veličina nám umožní najít tuto veličinu. Naučíme se například najít změnu teploty u procesu, u kterého intenzita tepelné výměny klesá s časem.

   • Přednáška 4 (Integrál, integrál a integrál)
   • Cvičení 5 (Integrály I)

2. Integrály pro pokročilé. Naučíme se numericky aproximovat určitý integrál a dokonce otevřeme vrátka mimo svět elementárních funkcí.

   • Přednáška 5 (Integrály pro pokročilé)
   • Cvičení 6 (Integrály II)

Diferenciální rovnice

1. Fyzikální zákony formulujeme pomocí rychlostí změn (derivací) a důsledky hledáme řešením vzniklých rovnic, zpravidla vhodným integrováním. Problematika spadá do oblasti diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice jsou ale i ideálním nástrojem i pro modelování růstu populací v ekologii nebo odtoku srážek z regionu. Formulovat diferenciální rovnice již umíme díky derivacím. Teď si znalosti prohloubíme, utřídíme. Poznáme problematiku existence a jednoznačnosti řešení. Naučíme se redukovat počet parametrů v modelu popisujícím přírodní proces díky zavedení bezrozměrných veličin.

   • Přednáška 6 (Diferenciální rovnice)
   • Cvičení 7 (Diferenciální rovnice)

Lineární algebra

1. 
   V materiálovém inženýrství potřebujeme často zohlednit, že v jednom směru má materiál jiné vlastnosti než ve směru jiném. Příroda má v materiálu jakési dálnice pro transport vody nebo tepla. Matice, které poznáme na této přednášce, jsou skvělým prostředkem pro zachycení tohoto jevu. Také matice poznáme jako nástroj na studium deformací materiálu. Podíváme se i na vedení tepla, zatím bez rovnice vedení tepla.

   • Přednáška 7 (Lineární algebra (operace s vektory a maticemi))
   • Cvičení 8 (Matice)

2. Má-li materiál v jednom směru výrazně odlišné vlastnosti než ve směru jiném, můžeme tuto vlastnost zohlednit v matematickém modelu a snažit se najít směry, ve kterých je popis úlohy nejjednodušší. Týká se zejména dřeva, které má silně odlišné vlastnosti v různých směrech. Ukážeme si, jak najít tyto zásadní směry (využívá se řešení soustav lineárních rovnic, které si představíme příště) a jak se pomocí nich dají zjednodušit materiálové charakteristiky (diagonalizace matice).

   • Přednáška 8 (Inverzní matice, determinanty)
   • Cvičení 9 (Determinanty, soustavy rovnic)

3. Při řešení praktických úloh sice pomocí fyziky zpravidla snadno sestavíme diferenciální rovnici popisující daný jev, ale vyřešit rovnici efektivně bývá i v relativně jednoduchých případech nemožné. Například velice záleží na geometrii úlohy, tj. tvaru studovaného tělesa apod. Zpravidla se takové úlohy převádí na řešení soustav lineárních rovnic. Proto soustavy patří k malé násobilce inženýra a v této přednášce se je mimo jiné naučíme řešit numericky.

   • Přednáška 9 (Soustavy lineárních rovnic)
   • Cvičení 10 (Vlastní čísla a směry)

Transportní děje v přírodě

1. Zákony zachování jsou základními stavebními kameny mnoha technických výpočtů zabývajících se transportem látky, energie, či jakékoliv veličiny. Prakticky všechny mají jednotné matematické pozadí a stejnou formu (rovnice kontinuity, resp. rovnice difuze, resp. rovnice vedeni tepla), kterou si představíme v této přednášce. Ukážeme si jednotný aparát pro popis sušení dřeva, vedení tepla, proudění vody v korytě a proudění podzemní vody.

   • Přednáška 10 (Vektorová pole, tok, zákony zachování)
   • Cvičení 11 (Parciální derivace, rovnice vedení tepla)

Ostatní

1. Integrály je někdy nutné uvažovat i ve více proměnných. Třeba pokud veličina, kterou studujeme, není rozložena v jedné dimenzi podél přímky, ale v rovině. Technické aplikace jsou například při studiu odolnosti nosníků vůči deformaci (kvadratický moment průřezu). Geometrické aplikace jsou například při výpočtech objemů těles nepravidelného tvaru, jako jezero se známým profilem dna.
   • Přednáška 11 (Dvojný integrál)
   • Cvičení 12 (Dvojný integrál)

2. Numerické modelování je silná zbraň, ale množství parametrů, které je nutno nastavit, by úlohu komplikovalo. Na rovnici vedení tepla si ukážeme zavedení bezrozměrných veličin, které toto množství parametrů sníží. Navazuje na problematiku transformace diferenciální rovnice do bezrozměrných veličin. To jsme nakousli během semestru a teď si dovednosti rozšíříme. Ukážeme si výstupy některých numerických metod.

   • Přednáška 12 (Vybrané postupy numerické matematiky)