10. Autonomní rovnice a systémy

K cvičení je k dispozici Jupyter zápisník s numerickými simulacemi zde představených modelů. Tento zápisník je možné si naklonovat a samostatně modifikovat příkazy nebo texty a zkoušet vlastní numerické simulace.

10.1. Skladování stavebního recyklátu

Video

Obr. 10.12 Zdroj: vlastní

Hromada sypkého materiálu má tvar kužele. Úhel u vrcholu je konstantní, daný mechanickými vlastnostmi materiálu a je nezávislý na objemu. Předpokládejme, že personál stavebnin přisypává na hromadu materiál konstantní rychlostí (v jednotkách objemu za jednotku času). Tato hromada je však v poměrně otevřené krajině a vítr rozfoukává materiál po okolí. Je rozumné předpokládat, že rozfoukávání (opět v jednotkách objemu za jednotku času) se děje rychlostí úměrnou povrchu návětrné strany pláště.

1. Napište rovnici pro derivaci objemu hromady podle času.

2. Existuje konstantní řešení? Pokud ano, je stabilní nebo nestabilní? Zdůvodněte.

3. Může hromada skončit i při neustálém přisypávání celá rozfoukaná?

4. Mohou pracovníci navršit hromadu do libovolné výšky anebo pro velkou hromadu je již rozfoukávání rychlejší než přisypávání?

Řešení

Rychlost, s jakou se mění objem, je \(\displaystyle \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}\). Rychlost přisypávání označme \(\displaystyle R\), povrch návětrné strany \(\displaystyle S\). Podle zadání platí

\[ \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = R - k_0S\]

pro vhodnou kontantu úměrnosti \(\displaystyle k_0\). Protože kužel má stále stejný tvar, objem jednoznačně determinuje rozměry, povrch kužele, nebo i povrch poloviny pláště, tj. povrch návětrné strany. Z podobnosti víme, že plochy rostou s druhou mocninou a objemy se třetí mocninou délkových rozměrů. Proto je zřejmé, že musí platit úměrnost mezi takovými mocninami těchto veličin, pro které jednotky ``pasují‘‘, Existuje tedy konstanta taková, že

\[S=k_1V^{\frac 23}.\]

Spojením těchto dvou vztahů dostáváme

\[ \frac{\mathrm dV}{\mathrm dt} = R - k V^{\frac 23},\]

kde \(\displaystyle R\) a \(\displaystyle k=k_0k_1\) jsou konstanty.

Označme \(\displaystyle f(V)=R-kV^{\frac 23}\). Konstantní řešení je řešením rovnice \(\displaystyle f(V)=0\), tj.

\[R-kV^{\frac 23}=0.\]

Odsud

\[V_0=\left(\frac{R}{k}\right)^{3/2}.\]

Protože \(\displaystyle f\) klesá v bodě \(\displaystyle V_0\), je toto řešení stabilní.

Protože \(\displaystyle f(0)>0\), malá hromada vždy roste a proto nemůže skončit celá rozfoukaná. Pro malý objem je přisypávání intenzivnější než rozfoukávání.

Protože \(\displaystyle f\) je pro velké \(\displaystyle V\) záporná, pro velkou hromadu objem ubývá (více se rozfouká než přisype) a hromadu není možné navršit libovolně velkou.

10.2. Propeptid kolagenu

Video

Obr. 10.13 pixabay.com

Kolagen je klíčový protein pojivových tkání. Jeden z kroků při syntéze kolagenu spočívá v reakci tří molekul propeptidu kolagenu, zkráceně propeptidu. Tento propeptid se formuje konstantní rychlostí a kromě toho, že je surovinou pro produkci kolagenu, se ještě rozpadá rychlostí úměrnou koncentraci.

1. Napište matematický model pro množství (koncentraci) propeptidu kolagenu.

2. Popište různá chování modelu z hlediska počtu stacionárnícho bodů a jejich stability.

Podle Alan Garfinkel, Jane Shevtsov, Yina Guo: Modeling Life

Řešení

Rovnice má tvar

\[\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=-k_1 P^3 +k_2-k_3 P,\]

kde \(\displaystyle k_1\), \(\displaystyle k_2\) a \(\displaystyle k_3\) jsou kladné konstanty úměrnosti. Rovnici je možno zapsat ve tvaru

\[\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=\Bigl(k_2-k_3 P\Bigr)-\Bigl(k_1 P^3\Bigr) \]

s rozdílem klesající a rostoucí funkce na pravé straně. Tyto funkce mají jediný průsečík a proto má rovnice jediný stacionární bod. Tento bod je stabilní, protože pro vysoké hodnoty \(\displaystyle P\) je pravá strana rovnice záporná (dominantní člen je \(\displaystyle -k_1 P^3\)) a pro malé hodnoty \(\displaystyle P\) je pravá strana kladná (v nule je rovna konstantě \(\displaystyle k_2\)).

10.3. Modely interagujících populací

Video

10.3.1. Jelen a los

Obr. 10.14 Jelen a los

Uvažujme populaci jelenů a losů. Tyto populace spolu soupeří o potravu.

1. Bez konkurence by populace jelena rostla rychlostí \(\displaystyle 3\) a populace losa rychlostí \(\displaystyle 2\) na jeden kus.

2. Vnitrodruhová konkurence se projevuje v obou populacích stejně a je rovna druhé mocnině příslušné velikosti populace.

3. Mezidruhová konkurence je vyjádřena členem rovným součinu velikosti populací a tato konkurence se projeví s koeficientem 0.5 v populaci losa a s koeficientem 1 v populaci jelena.

Sestavte matematický model a otestujte jej numerickým experimentem na stabilitu stacionárních bodů. Poté zdvojnásobte parametry mezidruhové konkurence a sledujte změnu odezvy.

Podle Alan Garfinkel, Jane Shevtsov, Yina Guo: Modeling Life

Řešení

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&=3x-xy-x^2\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}&=2y-0.5xy-y^2 \end{aligned} \end{split}\]

Online model.

10.3.2. Puštík obecný

Obr. 10.15 wikimedia

Puštík obecný se téměř výhradně živí malými hlodavci. Předpokládejme následující vztahy.

1. Populace hlodavců má porodnost 0.1 na jedince a úmrtnost 0.025 na jedince za jednotku času.

2. Rychlost, s jakou jeden puštík konzumuje hlodavce, je úměrná počtu hlodavců s konstantou úměrnosti 0.01.

3. Porodnost v populaci puštíka je úměrná množství zkonzumované potravy. Ta souvisí s dostupností hlodavců. Předpokládejme, že porodnost je úměrná populaci hlodavců s konstantou úměrnosti 0.05.

4. Úmrtnost v populaci puštíka je 0.1 na jedince za jednotku času.

Vyjádřete tyto vztahy matematickým modelem.

Podle Alan Garfinkel, Jane Shevtsov, Yina Guo: Modeling Life. Doslova přeloženo. Porodnost je ve skutečnosti společný efekt zvýšené porodnosti a snížené úmrtnosti v případě, že puštík má přístup k potravě.

Řešení

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&=0.1 x-0.025x-0.01xy\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}&=-0.1y+0.05xy \end{aligned} \end{split}\]

Online model.

10.3.3. Kůň Převalského

Obr. 10.16 Kůň Převalského

Kůň Převalského je divoký kůň ze střední Asie, jediný druh koně, který nebyl domestikován. V divočině jsou tito koně loveni vlky. Napište matematický model založený na následujících předpokladech.

1. Porodnost v populaci koní je 0.15 na jedince.

2. Úmrtnost v populaci koní je 0.01 na jedince.

3. Vlci se živí i jinou potravou, mají tedy kladnou porodnost. Ta je 0.1 na jedince.

4. Vlci mají konstantní úmrtnost 0.05 na jedince.

5. Pravděpodobnost, s jakou je kůň uloven vlkem, je úměrná počtu vlků s konstantou úměrnosti 0.02.

Podle Alan Garfinkel, Jane Shevtsov, Yina Guo: Modeling Life

Podle Wikipedie kůň Převalského přežil jenom díky péči zoologických zahrad a z rodokmenu je zřejmé, že 70 procent jedinců tohoto druhu má původní předky ze zoologické zahrady v Praze.

Řešení

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&=0.15 x-0.01x-0.02xy\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}&=0.1y-0.05y \end{aligned} \end{split}\]

10.4. Analýza 2D systému pomocí vlastních čísel

Video

Autonomní systém

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&= 4x^2y+y^3-5\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}&= 3xy^2-3y \end{aligned} \end{split}\]

má stacionární bod \(\displaystyle (1,1)\). Najděte Jacobiho matici v tomto bodě, vlastní čísla této matice a určete typ stacionárního bodu.

Řešení

Platí

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{\partial }{\partial x}(4x^2y+y^3-5)&=8xy\\ \frac{\partial }{\partial y}(4x^2y+y^3-5)&=4x^2+3y^2\\ \frac{\partial }{\partial x}(3xy^2-3y)&=3y^2\\ \frac{\partial }{\partial y}(3xy^2-3y)&=6xy-3\\ \end{aligned} \end{split}\]

a odsud

\[\begin{split}J(x,y)=\begin{pmatrix} 8xy& 4x^2+3y^2 \\ 3y^2 & 6xy-3 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Ve stacionárním bodě dostáváme

\[\begin{split}J(1,1)=\begin{pmatrix} 8 & 7\\3&3 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Výpočtem determinantu dostáváme

\[\begin{split}|J-\lambda I|=\begin{vmatrix} 8-\lambda & 7 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix}=(8-\lambda)(3-\lambda)-21=\lambda^2-11\lambda +3. \end{split}\]

Kořeny jsou

\[\lambda_{1,2}=\frac{11\pm\sqrt{121-12}}{2}\]

a oba jsou kladné. Ve stacionárním bodě proto je nestabilní uzel.

Testová otázka