6. Integrály II

6.1. Výpočet integrálu substitucí

Najděte následující integrály integrováním substituční metodou.

1. \(\displaystyle \int x e^{x^2}\mathrm dx\)

2. \(\displaystyle \int e^{-ax}\mathrm dx\)

3. \(\displaystyle \int \frac x{x^2+1}\mathrm dx\)

4. \(\displaystyle \int \sin x\cos^5x\mathrm dx\)

5. \(\displaystyle \int \cos x\sqrt{\sin x}\mathrm dx\)

Řešení

V integrované funkci se snažíme „rozšifrovat“ součin složené funkce a derivace vnitřní složky. Pokud se to podaří, dáváme substituci takovou, že vnitřní složka složené funkce bude novou proměnnou. V prvním případě je složenou funkcí exponenciální funkce, která má vnitřní složku \(\displaystyle x^2\). Derivace funkce \(\displaystyle x^2\) je \(\displaystyle 2x\) a toto hledáme v součinu se složenou funkcí. Část s proměnnou \(\displaystyle x\) vidíme na začátku integrované funkce. Dvojku ve funkci nemáme, ale to je naštěstí jenom multiplikativní konstanta s takovou konstantou si dokážeme poradit. Viz níže.

1. Integrál vypočteme substitucí

   \[x^2=t,\]
   odkud plyne
   \[2x\,\mathrm dx=\mathrm dt\]
   a
   \[x\,\mathrm dx=\frac 12 \mathrm dt.\]
   S touto substitucí dostáváme
   \[\int x e^{x^2}\mathrm dx = \frac 12 \int e^t\mathrm dt.\]
   Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud
   \[\int x e^{x^2}\mathrm dx = \frac 12 e^t =\frac 12 e^{x^2}+C.\]

2. Integrál vypočteme substitucí

   \[-ax=t,\]
   odkud plyne
   \[-a\,\mathrm dx=\mathrm dt\]
   a
   \[\mathrm dx=-\frac 1a \mathrm dt.\]
   S touto substitucí dostáváme
   \[\int e^{-ax}\mathrm dx = -\frac 1a \int e^t\mathrm dt.\]
   Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud
   \[\int e^{-ax}\mathrm dx = -\frac 1a e^t =-\frac 1a e^{-ax}+C.\]

3. Integrál vypočteme substitucí

   \[x^2+1=t,\]
   odkud plyne
   \[2x\,\mathrm dx=\mathrm dt\]
   a
   \[x\,\mathrm dx=\frac 12 \mathrm dt.\]
   S touto substitucí dostáváme
   \[\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm dx = \frac 12 \int \frac 1t \mathrm dt.\]
   Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud
   \[\int \frac{x}{x^2+1}\mathrm dx = \frac 12 \ln|t| =\frac 12 \ln(x^2+1)+C.\]

4. Integrál vypočteme substitucí

   \[\cos x=t,\]
   odkud plyne
   \[-\sin x\,\mathrm dx=\mathrm dt\]
   a
   \[\sin x\,\mathrm dx=- \mathrm dt.\]
   S touto substitucí dostáváme
   \[\int \sin x\cos^5 x\,\mathrm dx = - \int t^5 \mathrm dt.\]
   Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud
   \[\int \sin x\cos^5 x\,\mathrm dx =- \frac 16 t^6 =-\frac 16 \cos^6 x+C.\]

5. Integrál vypočteme substitucí

   \[\sin x=t,\]
   odkud plyne
   \[\cos x\,\mathrm dx=\mathrm dt.\]
   S touto substitucí dostáváme
   \[\int \cos x\sqrt{\sin x}\,\mathrm dx = \int \sqrt t \,\mathrm dt.\]
   Nyní vypočítáme integrál v proměnné \(\displaystyle t\) a odsud
   \[\int \cos x\sqrt{\sin x}\,\mathrm dx = \frac 23 t^{3/2} = \frac 23 \sin^{3/2} x+C.\]

Kontrola zde.

6.2. Střední hodnota funkce

Určete střední hodnotu funkce na zadaném intervalu.

1. funkce \(\displaystyle \sqrt x\) na intervalu \(\displaystyle [1,4]\)

2. funkce \(\displaystyle \sin x\) na intervalu \(\displaystyle [0,\pi]\)

3. funkce \(\displaystyle \sin x\) na intervalu \(\displaystyle [0,2\pi]\)

4. funkce \(\displaystyle ax^2\) na intervalu \(\displaystyle [0,1]\)

V posledním příkladě určete hodnotu konstanty \(\displaystyle a\) tak, aby střední hodnota byla rovna jedné.

6.3. Vedení tepla stěnou, lineární materiálové vztahy

Tok tepla v jedné dimenzi je dán Fourierovým zákonem

\[Q=-k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}.\]

Pro ustálené proudění je \(\displaystyle Q\) konstantní. Pro homogenní materiál s lineární odezvou je výše uvedený vztah přesně lineární, tj. \(\displaystyle k\) je konstanta. Určete tok tepla stěnou šířky \(\displaystyle d\) oddělující prostory o teplotě \(\displaystyle T_1\) a \(\displaystyle T_2\).

Řešení

Vztah

\[Q=-k\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\]

udává derivaci teploty podle polohy ve tvaru

\[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}=-\frac Qk\]

a integrací na intervalu \(\displaystyle x\in [0,d]\) dostáváme

\[T(d)-T(0)=\int _0^d -\frac Qk\,\mathrm dx=-\frac Qk\int _0^d \mathrm dx= -\frac Qk d.\]

Pro \(\displaystyle T(0)=T_1\) a \(\displaystyle T(d)=T_2\) dostáváme

\[T_2-T_1=-\frac Qk d\]

a odsud

\[Q=k\frac{T_1-T_2}d.\]

Toto je příklad, kdy se integrál redukuje na násobení díky tomu, že derivace je konstantní. V tomto případě pravá strana vztahu

\[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}=-\frac Qk\]

nezávisí na \(\displaystyle x\).

6.4. Vedení tepla stěnou, nelineární materiálové vztahy (volitelné)

Zopakujte předchozí výpočet pro materiál s nelineární materiálovou odezvou, kdy Fourierův zákon není lineární, tj. \(\displaystyle k\) závisí na teplotě. Nejjednodušší zobecnění je případ, kdy \(\displaystyle k(T)\) je lineární, tj. platí

\[k(T)=a+bT.\]

Použijte substituční metodu převádějící integrál \(\displaystyle \int k(T(x))\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\,\mathrm dx\) na integrál \(\displaystyle \int k(T)\,\mathrm dT.\) Použijte dále skutečnost, že střední hodnota lineární funkce je aritmetickým průměrem hodnot v krajních bodech intervalu.

Na tomto příkladě jsou zajímavé tři věci.

• Odvodíme vzorec používaný při posuzování tepelných ztrát.

• Přirozeně vychází vzorec, který po zavedení střední hodnoty funkce \(\displaystyle k(T)\) splývá se vzorcem z předchozího příkladu, odvozeného pro konstantní vodivost.

• Nejzajímavější je fakt, že jsme substituční metodou vypočítali integrál funkce, kterou vlastně vůbec neznáme. Vskutku, neznáme teplotní profil \(\displaystyle T(x)\) ve stěně a tím pádem neznáme ani závislost vodivosti \(\displaystyle k(T(x))\) na poloze a ani gradient teploty. Přesto se podařilo integrál vypočítat. Teplotní profil se naučíme hledat jako řešení rovnice vedení tepla.

Řešení

Stejně jako v předchozím příkladě, máme

\[k(T)\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}=-Q\]

a integrací na intervalu \(\displaystyle [0,d]\) dostáváme

\[\int_0^d k(T)\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\,\mathrm dx=-Qd\]

a po substituci a označení \(\displaystyle T(0)=T_1\), \(\displaystyle T(d)=T_2\)

\[\int_{T_1}^{T_2} k(T)\,{\mathrm dT}=-Qd.\]

S využitím střední hodnoty dostáváme

\[(T_2-T_1)\frac{k (T_1)+k (T_2)}2=-Qd\]

a po výpočtu

\[Q=\frac{k (T_1)+k (T_2)}{2}\frac{T_1-T_2}{d}.\]

6.5. Střední hodnota funkce dané tabulkou

Obr. 6.20 pixabay.com

Určete střední hodnotu koeficientu tepelné vodivosti \(\displaystyle \lambda\) mědi na teplotním intervalu od 100 do 400 Kelvinů. Porovnejte výsledek s aritmetickým průměrem.

Pro výpočet na intervalu od 100 do 800 Kelvinů bychom museli integrovat na intervalu, na kterém nemáme rovnoměrně rozložené uzlové body. Navrhněte, jak v takovém případě postupovat a jak vypočítat \(\displaystyle \int_{100}^{800}\lambda(T)\,\mathrm dT\)

\(\displaystyle T/\mathrm{K}\)	\(\displaystyle \lambda/ (\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K}))\)
100	482
200	413
300	401
400	393
600	379
800	366

Table: Zdroj: Cengel, Mass and heat transfer.

Řešení

Integrál vypočteme lichoběžníkovým pravidlem

\[\int_{100}^{400}\lambda(T)\,\mathrm dT\approx \frac {100}2(482+2\times 413+2\times401+393)=125150\]

Střední hodnota na intervalu \(\displaystyle [100,400]\) je

\[\frac{1}{300}\int_{100}^{400}\lambda(T)\,\mathrm dT \approx 417\]

Aritmetický průměr je

\[\frac{482+413+401+393}4=422.\]

Střední hodnota je vlastně (po dosazení lichoběžníkového pravidla)

\[\frac {482+2\times 413+2\times401+393}6\]

a jedná se tedy o vážený průměr, kdy vnitřní body jsou započteny dvojnásobnou vahou.

Integrál na intervalu \(\displaystyle [100,800]\) vypočteme díky aditivitě vzhledem k integračnímu oboru

\[\int_{100}^{800}\lambda(T)\,\mathrm dT=\int_{100}^{400}\lambda(T)\,\mathrm dT+\int_{400}^{800}\lambda(T)\,\mathrm dT\]

a pro každý integrál máme data v ekvidistantních krocích a můžeme použít přímo lichoběžníkové pravidlo.

6.6. Růst populace a přežívání jedinců

Obr. 6.21 pixabay.com

Populace živočišného druhu činí 5600 jedinců a tato populace roste rychlostí

\[R(t)=720 e^{0.1t}\]

jedinců za rok. (V tomto čísle je zahrnuta přirozená natalita, mortalita a povolený lov.) Vlivem znečištění životního prostředí se však jedinci dožívají kratšího věku, než je zahrnuto v popsaném modelu. Zlomek populace, který přežije časový interval délky \(\displaystyle t\), je

\[S(t)=e^{-0.2t}.\]

Odhadněte počet živočichů za 10 let a odhadněte, jaký by tento počet byl, kdyby k žádnému znečištění nedocházelo, tj. kdyby bylo \(\displaystyle S(t)=1\).

Napište jenom příslušné integrály a okomentujte, jakými metodami bychom je počítali. Vlastní výpočet provádět nemusíte.

(Podle J. Stewart, T. Day: Biocalculus, Calculus for Life Sciences.)

Řešení

Nechť výchozí stav je rok \(\displaystyle t=0\).

Bez znečištění: Pokud je \(\displaystyle N(t)\) počet jedinců po roce \(\displaystyle t\), platí

\[N(10)=N(0)+\int_0^{10} R(t)\,\mathrm dt=5600+\int_0^{10} 720 e^{0.1 t}\,\mathrm dt= 5600+\left[7200 e^{0.1t}\right]_0^{10}\approx 18000, \]

kde integrál se dá vypočítat přímou integrací pomocí vzorce.

Se znečištěním: Jedinci, kteří jsou v populaci na začátku, musí přežít 10 let, to znamená, že se jejich počet sníží na \(\displaystyle S(10)\)-násobek. Jedinci, kteří se narodí v roce \(\displaystyle t\) musí přežít \(\displaystyle 10-t\) let a to znamená, že jejich počet se sníží na \(\displaystyle S(10-t)\)-násobek. Toto snížení musíme započítat do předchozího modelu bez znečištění a dostaneme

\[\begin{split} \begin{aligned} N(10)&=N(0)S(10)+\int_0^{10} R(t)S(10-t)\,\mathrm dt=\\&=5600 e^{-2}+\int_0^{10} 720 e^{0.1 t}e^{-0.2(10-t)}\,\mathrm dt\\&= 5600 e^{-2}+720 e^{-2} \int_0^{10} e^{0.3 t}\,\mathrm dt= \cdots =7000, \end{aligned} \end{split}\]

kde i tento integrál se dá vypočítat přímou integrací pomocí vzorce.

6.7. Rodičovské stromy (volitelné)

Obr. 6.22 publicdomainpictures.net

Při obnově lesů je nutné velké množství sadebního materiálu. Kromě školek hrají při obnově lesa důležitou roli rodičovské stromy. Plošná hustota semen (například v počtu semen na metr čtvereční) ve vzdálenosti \(\displaystyle r\) od stromu je dána funkcí

\[D(r)=D_0 e^{-r^2/a^2}.\]

Pro vhodnou volbu jednotek dosáhneme toho, že platí \(\displaystyle a=1\). Pracujme proto s funkcí

\[D(r)=D_0 e^{-r^2}.\]

Určete množství semen uvnitř kruhu o poloměru \(\displaystyle R\).

Napište jenom příslušný integrál a okomentujte, jakou metodou bychom ho počítali. Vlastní výpočet provádět nemusíte.

(Volně přeformulováno podle L. Edestein–Keshet: Differential calculus for the life sciences. Příklad je použitelný pro stromy s velkými semeny, například dub. Pro jiné stromy musí semena sbírat stromolezci.)

Řešení

Množství semen na metr čtvereční závisí na vzdálenosti od stromu, je to tedy podobná úloha jako úloha s prouděním tekutiny potrubím v přednášce. Postupujeme analogicky, jenom místo rychlosti tekutiny máme hustotu semen. Množství je součin hustoty a obsahu, \(\displaystyle N=S\cdot D\). Protože \(\displaystyle D\) není na celém obsahu konstantní, rozdělíme na části, kde konstantní je, a příspěvky sečteme, tj.

\[N=\sum_{kruh} D\cdot\Delta S.\]

Protože \(\displaystyle D\) je funkce \(\displaystyle r\), potřebujeme sčítat (integrovat) přes \(\displaystyle r\). Proto kruh dělíme na mezikruží a přes tato mezikruží sčítáme, tj.

\[N=\sum_{kruh} D \frac{\Delta S}{\Delta r}\Delta r.\]

Limitním přechodem uděláme skok v součtu nekonečně malý a součet přejde na integrál, podíl změn přejde na derivaci, tj. dostaneme

\[N=\int_{kruh} D \frac{\mathrm dS}{\mathrm dr}\,\mathrm d r.\]

Obsah \(\displaystyle S=\pi r^2\) roste s poloměrem, \(\displaystyle \frac {\mathrm dS}{\mathrm dr}=2\pi r\). Po dosazení této derivace a po dosazení za \(\displaystyle D\) a vyjádření toho, co znamená integrál přes kruh o poloměru \(\displaystyle R\) získáme integrál

\[N=\int _0^R D_0e^{-r^2}2\pi r\,\mathrm dr,\]

který můžeme vypočítat pomocí substituce \(\displaystyle -r^2=t\).