3. Výpočet derivací, lineární aproximace#

  • Naučíme se derivovat součin a podíl funkcí. Jedná se o použití vzorců, nejsou nutné předchozí znalosti, je nutné mít pouze k dispozici vzorce.

  • Naučíme se používat vzorec pro lineární aproximaci funkce. Naučíme se nahrazovat komplikované funkční závislosti závislostmi jednoduššími.

  • Naučíme se další triky získané díky lineární a polynomiální aproximaci: numerické derivování a numerické řešení rovnic.

3.1. Výpočet derivace součinu a podílu#

Určete derivace následujících funkcí, kde \(\displaystyle a,b,\mu\in\mathbb{R}\).

  1. \(\displaystyle f(x)=x\ln x\)

  2. \(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}\)

  3. \(\displaystyle f(x)=\frac {x}{ax+b}\)

  4. \(\displaystyle f(t)=\frac{t}{t^2+6}\)

  5. \(\displaystyle f(x)=\frac{ax^2}{x^2+1}\)

  6. \(\displaystyle f(x)=\frac {2x^3}{x^2+1}\)

  7. \(\displaystyle f(x)=\frac {ax}{(x-1)^2}\)

3.2. Základní lineární aproximace#

Najděte lineární aproximace funkcí \(\displaystyle \sin x\), \(\displaystyle \cos x\) a \(\displaystyle {(1+x)^n}\) v okolí nuly. Tím dokážete platnost následujících přibližných vzorců platných pro \(\displaystyle x\) blízko nuly.

\[\begin{split} \begin{aligned} \sin x&\approx x\\ \cos x&\approx 1\\ (1+x)^n&\approx 1+nx \end{aligned} \end{split}\]

První dvě aproximace využijeme později pro odvození tvaru matice malých rotací, což je důležité při studiu deformace materiálů. Poslední můžeme využít například pro to, abychom z relativistického vzorce pro celkovou energii extrahovali část závislou na rychlosti, tj. kinetickou energii (na přednášce).

3.3. Lineární aproximace#

Veličina \(\displaystyle y\) je funkce proměnné \(\displaystyle x\). Najděte její lineární aproximaci v okolí zadaného bodu.

  1. \(\displaystyle y=xe^x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\)

  2. \(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\)

  3. \(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodu \(\displaystyle x=K\)

  4. \(\displaystyle y=\sqrt x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=1\)

  5. \(\displaystyle y=\frac 1{\sqrt x}\) v okolí bodu \(\displaystyle x=1\)

Ve druhém a třetím příkladě aproximujeme funkci modelující růst populace v prostředí s nosnou kapacitou \(\displaystyle K\). Aproximace v okolí bodu \(\displaystyle x=0\) odpovídá velmi malé populaci. Proto se konstanta úměrnosti ze získané lineární aproximace nazývá invazní parametr.

3.4. Kinetika chemických reakcích pro malé koncentrace#

Rychlost mnoha chemických reakcí je dána vzorcem

\[ f(x)=\frac {ax}{b+x}, \]
kde \(\displaystyle x\) je koncentrace substrátu a \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) jsou parametry (konstanty). Tento vzorec se nazývá kinetika Michaelise a Mentenové. Ukažte, že platí
\[ \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\frac{ab}{(b+x)^2}. \]
Použijte tento výpočet k lineární aproximaci funkce
\[ f(x)=\frac {ax}{b+x}, \]
pro malá \(\displaystyle x\).

3.5. Lineární aproximace kvalifikovaným odhadem#

Pokud je v součinu výraz, který je blízký nule, ovlivní tento výraz výsledný součin více, než zbylé součinitele. Postavíme toto pozorování na solidnější základy.

Ukažte, že pokud platí \(\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\) a \(\displaystyle g(x_0)=0\neq h(x_0)\), má lineární aproximace funkce \(\displaystyle g\) tvar

\[g(x)\approx g'(x_0)(x-x_0)\]
a lineární aproximace funkce \(\displaystyle f\) tvar
\[f(x)\approx \Bigl[g'(x_0) (x-x_0)\Bigr]h(x_0),\]
kde v hranaté závorce je lineární aproximace funkce \(\displaystyle g\) a tato aproximace je vynásobena hodnotou funkce \(\displaystyle h\) v bodě \(\displaystyle x_0\).

Situace je jednoduchá zejména v případě, kdy funkce \(\displaystyle g\) je lineární a je sama svojí lineární aproximací. Ukažte, že s uvedenou výbavou je možno napsat lineární aproximace prvních funkcí \(\displaystyle y=xe^x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\) a \(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodů \(\displaystyle x=0\) a \(\displaystyle x=K\) (jeden z předchozích příkladů) přímo a bez výpočtu. Ukažte, že výpočet není nutný a výsledek se dá kvalifikovaně odhadnout i v předchozím příkladě s kinetikou Michaelise a Mentenové. Pro tyto účely použijte triviální identitu

\[ \frac {ax}{b+x}=x\cdot\frac {a}{b+x}. \]

3.6. Numerické derivování a závislost tepelné vodivosti mědi na teplotě#

../_images/medene_nadobi.jpg

Obr. 3.17 pixabay.com#

Tabulka udává závislost koeficientu tepelné vodivosti mědi na teplotě, \(\displaystyle \lambda=\lambda(T)\). Odhadněte pomocí centrální diference derivaci funkce \(\displaystyle \lambda\) pro \(\displaystyle T=400K\) (cca \(\displaystyle 127^\circ \mathrm C\)). Určete i fyzikální jednotku derivace \(\displaystyle \frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm dT}\) a slovní interpretaci vypočtené hodnoty.

Poznámka: Teplota v Kelvinech (termodynamická teplota) je teplota ve stupních Celsia posunutá tak, aby teplota \(\displaystyle -273{,}15^\circ\mathrm C\) odpovídala \(\displaystyle 0\,\mathrm K\). Dílky a tedy i změny teploty jsou na obou stupnicích identické.

\(\displaystyle T/\mathrm K\)

\(\displaystyle \lambda\Bigm/ \mathrm {W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})\)

200

413

400

393

600

379

800

366

Table: Zdroj: Cengel, Mass and heat transfer.

3.7. Iterační metoda#

../_images/sun_house.jpg

Obr. 3.18 pixabay.com#

Úlohy s tepelnou bilancí (např. osluněná stěna) často vedou na rovnice obsahující čtvrtou mocninu a první mocninu neznámé veličiny. Toto je dáno tím, že vyzařování tepla souvisí podle Stefanova-Bolzmannova zákona se čtvrtou mocninou teploty a přenos tepla prouděním nebo vedením souvisí s první mocninou teploty. Koeficient u první mocniny bývá větší než u čtvrté mocniny, protože konstanta ze Stefanova-Bolzmannova zákona je velmi malá. Typickým představitelem by mohla být rovnice

\[x^4-8x+6=0.\]
Napište iterační vzorec pro řešení této rovnice Newtonovou metodou a proveďte několik iterací s počáteční aproximací \(\displaystyle x_0=1\). Poté porovnejte s postupem, kdy v rovnici osamostatníte \(\displaystyle x\) z lineární části a z takové rovnice sestavíte iterační vzorec.