3. Výpočet derivací, lineární aproximace#
Naučíme se derivovat součin a podíl funkcí. Jedná se o použití vzorců, nejsou nutné předchozí znalosti, je nutné mít pouze k dispozici vzorce.
Naučíme se používat vzorec pro lineární aproximaci funkce. Naučíme se nahrazovat komplikované funkční závislosti závislostmi jednoduššími.
Naučíme se další triky získané díky lineární a polynomiální aproximaci: numerické derivování a numerické řešení rovnic.
3.1. Výpočet derivace součinu a podílu#
Určete derivace následujících funkcí, kde \(\displaystyle a,b,\mu\in\mathbb{R}\).
\(\displaystyle f(x)=x\ln x\)
\(\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac {x}{ax+b}\)
\(\displaystyle f(t)=\frac{t}{t^2+6}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{ax^2}{x^2+1}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac {2x^3}{x^2+1}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac {ax}{(x-1)^2}\)
Řešení
\(\displaystyle f'(x)=1\cdot \ln x+x\frac 1x=1+\ln x\)
\(\displaystyle f'(x)=\sqrt{x^2+a}+x\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot (ax+b)-x\cdot a}{(ax+b)^2}=\frac b{(ax+b)^2}\)
\(\displaystyle f'(t)=\frac{(t^2+6)-t2t}{(t^2+6)^2}=\frac{6-t^2}{(t^2+6)^2}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac {2ax(x^2+1)-ax^22x}{(x^2+1)^2}=\frac {2ax}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac {6x^2(x^2+1)-2x^32x}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle f'(x)=\frac{a(x-1)^2-ax2(x-1)}{(x-1)^4}= \frac{a(x-1)-ax2}{(x-1)^3}=\cdots\)
3.2. Základní lineární aproximace#
Najděte lineární aproximace funkcí \(\displaystyle \sin x\), \(\displaystyle \cos x\) a \(\displaystyle {(1+x)^n}\) v okolí nuly. Tím dokážete platnost následujících přibližných vzorců platných pro \(\displaystyle x\) blízko nuly.
První dvě aproximace využijeme později pro odvození tvaru matice malých rotací, což je důležité při studiu deformace materiálů. Poslední můžeme využít například pro to, abychom z relativistického vzorce pro celkovou energii extrahovali část závislou na rychlosti, tj. kinetickou energii (na přednášce).
Řešení
\(\displaystyle f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\)
\(\displaystyle f(x)=\sin x\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=\sin 0=0\), \(\displaystyle f'(x)=(\sin(x))'=\cos x\), \(\displaystyle f'(0)=\cos (0)=1\)
\[\sin(x)\approx 0+1\cdot (x-0)=x\]\(\displaystyle f(x)=\cos x\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=\cos 0=1\), \(\displaystyle f'(x)=(\cos(x))'=-\sin x\), \(\displaystyle f'(0)=-\sin (0)=0\)
\[\cos(x)\approx 1+0\cdot (x-0)=1\]\(\displaystyle f(x)=(1+x)^n\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=(1+0)^n=1\), \(\displaystyle f'(x)=((1+x)^n)'=n(1+x)^{n-1}\), \(\displaystyle f'(0)=n(1+0)^{n-1}=n\)
\[(1+x)^n\approx 1+n\cdot (x-0)=1+nx\]
3.3. Lineární aproximace#
Veličina \(\displaystyle y\) je funkce proměnné \(\displaystyle x\). Najděte její lineární aproximaci v okolí zadaného bodu.
\(\displaystyle y=xe^x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\)
\(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\)
\(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodu \(\displaystyle x=K\)
\(\displaystyle y=\sqrt x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=1\)
\(\displaystyle y=\frac 1{\sqrt x}\) v okolí bodu \(\displaystyle x=1\)
Ve druhém a třetím příkladě aproximujeme funkci modelující růst populace v prostředí s nosnou kapacitou \(\displaystyle K\). Aproximace v okolí bodu \(\displaystyle x=0\) odpovídá velmi malé populaci. Proto se konstanta úměrnosti ze získané lineární aproximace nazývá invazní parametr.
Řešení
\(\displaystyle f(x)=xe^x\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=0e^0=0\), \(\displaystyle f'(x)=(xe^x)'=e^x+x e^x\), \(\displaystyle f'(0)=e^0+0e^0=e^0=1\)
\[xe^x\approx 0+1\cdot (x-0)=x\]\(\displaystyle f(x)=rx \left(1-\frac xK\right)\), \(\displaystyle x_0=0\), \(\displaystyle f(0)=r0 \left(1-\frac 0K\right)=0\), \(\displaystyle f'(x)= \left(rx-r\frac 1K x^2\right)' = r-\frac{2r}K x\), \(\displaystyle f'(0)=r-\frac{2r}{K} \cdot 0=r\)
\[rx\left(1-\frac xK\right)\approx 0+r(x-0)=rx\]\(\displaystyle f(x)=rx\left(1-\frac xK\right)\), \(\displaystyle x_0=K\), \(\displaystyle f(K)=rK\left(1-\frac KK\right)=rK(1-1)=0\), \(\displaystyle f'(x)=\left(rx-r\frac 1K x^2\right)'=r-\frac{2r}K x\), \(\displaystyle f'(K)=r-\frac{2r}{K} \cdot K=r-2r=-r\)
\[rx\left(1-\frac xK\right)\approx 0-r(x-K)=-r(x-K)=r(K-x)\]Poslední aproximaci je možno přepsat do tvaru\[rx\left(1-\frac xK\right)\approx rK\left(1-\frac xK\right)\]\(\displaystyle f(x)=\sqrt x\), \(\displaystyle x_0=1\), \(\displaystyle f(1)=\sqrt 1=1\), \(\displaystyle f'(x)=\left(x^{\frac 12}\right)'=\frac 12 x^{-\frac 12}\), \(\displaystyle f'(1)=\frac 12\)
\[\sqrt x \approx 1+\frac 12 (x-1)\]\(\displaystyle f(x)=\frac 1{\sqrt x}\), \(\displaystyle x_0=1\), \(\displaystyle f(1)=\frac 1{\sqrt 1}=1\), \(\displaystyle f'(x)=\left(x^{-\frac 12}\right)'=-\frac 12 x^{-\frac 32}\), \(\displaystyle f'(1)=-\frac 12\)
\[\frac 1{\sqrt x} \approx 1-\frac 12 (x-1)\]
3.4. Kinetika chemických reakcích pro malé koncentrace#
Rychlost mnoha chemických reakcí je dána vzorcem
Řešení
Přímým dosazením dostáváme \(\displaystyle f(0)=\frac {a0}{b+0}=0\), \(\displaystyle f'(0)=\frac{ab}{(b+0)^2}=\frac {ab}{b^2}=\frac ab\) a odsud
3.5. Lineární aproximace kvalifikovaným odhadem#
Pokud je v součinu výraz, který je blízký nule, ovlivní tento výraz výsledný součin více, než zbylé součinitele. Postavíme toto pozorování na solidnější základy.
Ukažte, že pokud platí \(\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\) a \(\displaystyle g(x_0)=0\neq h(x_0)\), má lineární aproximace funkce \(\displaystyle g\) tvar
Situace je jednoduchá zejména v případě, kdy funkce \(\displaystyle g\) je lineární a je sama svojí lineární aproximací. Ukažte, že s uvedenou výbavou je možno napsat lineární aproximace prvních funkcí \(\displaystyle y=xe^x\) v okolí bodu \(\displaystyle x=0\) a \(\displaystyle y=rx\left(1-\frac xK\right)\) v okolí bodů \(\displaystyle x=0\) a \(\displaystyle x=K\) (jeden z předchozích příkladů) přímo a bez výpočtu. Ukažte, že výpočet není nutný a výsledek se dá kvalifikovaně odhadnout i v předchozím příkladě s kinetikou Michaelise a Mentenové. Pro tyto účely použijte triviální identitu
Řešení
Obecný vzorec je
Vztah
Pro funkci \(\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\) v našem případě máme
Funkce \(\displaystyle f(x)=xe^x\) má v \(\displaystyle x=0\) první součinitel nulový a druhý součinitel nenulový a platí \(\displaystyle e^0=1\). V okolí \(\displaystyle x=0\) je první součinitel lineární. Proto v okolí \(\displaystyle x=0\) platí
\[xe^x\approx xe^0=x\cdot 1=x.\]Funkce \(\displaystyle f(x)=rx\left(1-\frac xK\right)\) má v \(\displaystyle x=0\) první součinitel \(\displaystyle rx\) nulový a
druhý součinitel \(\displaystyle \left(1-\frac xK\right)\) nenulový a platí \(\displaystyle \left(1-\frac 0K\right)=1\). V okolí \(\displaystyle x=0\) je první součinitel lineární a v okolí \(\displaystyle x=0\) platí\[rx\left(1-\frac xK\right)\approx rx\left(1-\frac 0K\right)=rx.\]Funkce \(\displaystyle f(x)=rx\left(1-\frac xK\right)\) má v bodě \(\displaystyle x=K\) první součinitel \(\displaystyle rx\) nenulový roven \(\displaystyle rK\) a druhý součinitel \(\displaystyle \left(1-\frac xK\right)\) nulový. Druhý součinitel je lineární. Proto v okolí \(\displaystyle x=K\) platí
\[rx\left(1-\frac xK\right)\approx rK\left(1-\frac xK\right)=r(K-x).\]Funkce \(\displaystyle f(x)=x\frac {a}{b+x}\) má v bodě \(\displaystyle x=0\) první součinitel \(\displaystyle x\) nulový a druhý součinitel \(\displaystyle \frac {a}{b+x}\) nenulový a roven \(\displaystyle \frac ab\). První součinitel je lineární. Proto v okolí \(\displaystyle x=0\) platí
\[x\frac a{b+x}\approx x\frac ab.\]
3.6. Numerické derivování a závislost tepelné vodivosti mědi na teplotě#
Tabulka udává závislost koeficientu tepelné vodivosti mědi na teplotě, \(\displaystyle \lambda=\lambda(T)\). Odhadněte pomocí centrální diference derivaci funkce \(\displaystyle \lambda\) pro \(\displaystyle T=400K\) (cca \(\displaystyle 127^\circ \mathrm C\)). Určete i fyzikální jednotku derivace \(\displaystyle \frac{\mathrm d\lambda}{\mathrm dT}\) a slovní interpretaci vypočtené hodnoty.
Poznámka: Teplota v Kelvinech (termodynamická teplota) je teplota ve stupních Celsia posunutá tak, aby teplota \(\displaystyle -273{,}15^\circ\mathrm C\) odpovídala \(\displaystyle 0\,\mathrm K\). Dílky a tedy i změny teploty jsou na obou stupnicích identické.
\(\displaystyle T/\mathrm K\) |
\(\displaystyle \lambda\Bigm/ \mathrm {W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})\) |
---|---|
200 |
413 |
400 |
393 |
600 |
379 |
800 |
366 |
Table: Zdroj: Cengel, Mass and heat transfer.
Řešení
Teploty jsou v ekvidistantních krocích po \(\displaystyle 200\) kelvinech. Vezmeme od výchozí hodnoty \(\displaystyle 400\) kelvinů nejbližší nižší (\(\displaystyle 200\,\mathrm K\)) a nejbližší vyšší (\(\displaystyle 600\,\mathrm K\)) teplotu, najdeme v tabulce odpovídající koeficienty tepelné vodivosti, rozdílem určíme změnu v tomto koeficientu a podílem přepočteme změnu na jeden Kelvin.
Pokusíme se trošku slovně ilustrovat, co nám vlastně vyšlo. Při teplotě \(\displaystyle 400\,\mathrm K\) a teplotním gradientu jeden stupeň Celsia na metr délky prochází mědí tepelný výkon \(\displaystyle 393\) wattů na metr čtvereční, tj. za sekundu se plochou metru čtverečního přenese \(\displaystyle 393\) joulů. S každým stupněm Celsia navíc tato hodnota malinko poklesne: o \(\displaystyle 0.085\) joulu. Odsud je patrné, že při změně teploty řádově o desítky stupňů se koeficent změní o malé jednotky procent a v těchto situacích nebude závislost na teplotě významná.
3.7. Iterační metoda#
Úlohy s tepelnou bilancí (např. osluněná stěna) často vedou na rovnice obsahující čtvrtou mocninu a první mocninu neznámé veličiny. Toto je dáno tím, že vyzařování tepla souvisí podle Stefanova-Bolzmannova zákona se čtvrtou mocninou teploty a přenos tepla prouděním nebo vedením souvisí s první mocninou teploty. Koeficient u první mocniny bývá větší než u čtvrté mocniny, protože konstanta ze Stefanova-Bolzmannova zákona je velmi malá. Typickým představitelem by mohla být rovnice
Řešení
Newtonova metoda: Využitím funkčního předpisu \(\displaystyle f(x)=x^4-8x+6\) a derivace \(\displaystyle f'(x)=4x^3-8\) dostáváme iterační vzorec
Iterace |
Hodnota |
---|---|
\(\displaystyle x_0\) |
\(\displaystyle 1.000000000000000\) |
\(\displaystyle x_1\) |
\(\displaystyle 0.750000000000000\) |
\(\displaystyle x_2\) |
\(\displaystyle 0.800123762376238\) |
\(\displaystyle x_3\) |
\(\displaystyle 0.801613150991155\) |
\(\displaystyle x_4\) |
\(\displaystyle 0.801614587354561\) |
\(\displaystyle x_5\) |
\(\displaystyle 0.801614587355901\) |
\(\displaystyle x_6\) |
\(\displaystyle 0.801614587355901\) |
Ad hoc iterace: Rovnici převedeme na tvar
Iterace |
Hodnota |
---|---|
\(\displaystyle x_0\) |
\(\displaystyle 1.000000000000000\) |
\(\displaystyle x_1\) |
\(\displaystyle 0.875000000000000\) |
\(\displaystyle x_2\) |
\(\displaystyle 0.823272705078125\) |
\(\displaystyle x_3\) |
\(\displaystyle 0.807422868167514\) |
\(\displaystyle x_4\) |
\(\displaystyle 0.803126865733812\) |
\(\displaystyle x_5\) |
\(\displaystyle 0.802005182967586\) |
\(\displaystyle x_6\) |
\(\displaystyle 0.801715260030858\) |