Pomocí maticového násobení vidíme, že platí

Výsledkem zobrazení vektoru pomocí matice je vektor který není násobkem původního vektoru (podle první komponenty by se muselo jednat o trojnásobek, ale to nekoresponduje s druhou komponentou) a proto se nejedná o vlastní vektor matice.

Pomocí maticového násobení vidíme, že platí

Výsledkem zobrazení vektoru ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ pomocí matice je vektor ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}12\\ 18\end{array}\right),}$ který je šestinásobkem původního vektoru ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)}$. Protože je obraz násobkem vzoru, jedná se o vlastní vektor matice. Příslušné vlastní číslo je ${\displaystyle 6}$, protože se vektor zobrazuje na svůj šestinásobek.

Vlastní čísla jsou nulovými body determinantu

Vlastní číslo ${\displaystyle {\lambda }_1=2}$. Protože platí

Vlastní číslo ${\displaystyle {\lambda }_2=-3}$. Protože platí

Poznámka. Protože je matice symetrická, jsou vlastní vektory na sebe kolmé. Proto není nutné druhý vektor počítat, ale stačí vzít libovolný vektor kolmý k prvnímu vlastnímu vektoru. V praxi tedy stačí vektoru ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_1}$ prohodit komponenty a na první nebo druhé pozici změnit znaménko. Tím dostaneme vektor ${\displaystyle {\overrightarrow{e}}_2}$.

Charakteristický polynom je

Pokud ještě před násobením matic vytkneme opakující se faktor z obou matic, násobením dostáváme

Platí

V souřadné soustavě podle zadání je tah ve směru osy ${\displaystyle x}$ roven jedné a další komponenty jsou nulové. Tedy ${\displaystyle \sigma =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right).}$ Budeme otáčet proti směru hodinových ručiček, tj. o kladný úhel ${\displaystyle \theta }$.

Dostáváme (při zkráceném označení ${\displaystyle S=\sin \theta }$ a ${\displaystyle C=\cos \theta }$)

Odsud již dostaneme odpovědi na všechny uvedené otázky.

1. Normálové napětí udává funkce

   $${\cos }^2\theta .$$
   Ta je rovna jedné pro ${\displaystyle \theta =0}$, tj. pro nulový sklon spoje. Pro nenulový sklon je menší než jedna (uvažujeme sklon maximálně do 90 stupňů).

2. Derivace normálového napětí pro ${\displaystyle \theta }$ z intervalu od ${\displaystyle 0}$ do ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ je

   $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }{\cos }^2\theta =2\cos \theta (-\sin \theta )=-\sin (2\theta )<0.$$
   Záporná derivace značí klesající funkci.

3. Pro ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{2}}$ by normálové napětí bylo nulové a smykové také nulové. Jednalo by se vlastně o podélně spojené kusy materiálu a při uvedeném namáhání by bylo jedno, jestli jsou slepené nebo ne.

4. Smykové namáhání je prvek v matici mimo hlavní diagonálu. V našem případě ${\displaystyle -\frac{1}{2}\sin (2\theta )}$. Smykové namáhání je maximální, pokud má tato funkce maximum nebo minimum. Takový extrém je pro ${\displaystyle 2\theta =\frac{\pi }{2}}$ tj. pro ${\displaystyle \theta =\frac{\pi }{4}.}$ Maximální smykové namáhání je pro spoj skloněný pod úhlem 45 stupňů.

5. Nezáleží. Změnou znaménka u úhlu ${\displaystyle \theta }$ se napětí ve směru kolmo na spoj ani podél spoje nemění, funkce ${\displaystyle {\cos }^2\theta }$ i ${\displaystyle {\sin }^2\theta }$ jsou obě sudé. U smykového napětí se mění znaménko, ale to jenom znamená namáhání v opačném smyslu (Pokud si na stěnu materiálu nakreslíme čtvereček s jednou stranou podél spoje a s druhou stranou kolmo na spoj, podle směru sklonu spoje máme dva zrcadlové případy, jak se tento čtvereček deformuje. Tomu odpovídá opačné znaménko smykové derivace.)

Snadno je odpověď patrná i z obrázku, kde jsou vyneseny funkce z jednotlivých komponent transformovaného tenzoru.

Kód pro vygenerování obrázku

Podle zadání víme, že jeden z vlastních vektorů je ${\displaystyle e_1=(1,0,0{)}^T}$ a protože se zobrazí na pětinásobek, je příslušná vlastní hodnota ${\displaystyle {\lambda }_1=5}$. Charakteristický polynom je

Uvažujme matici

Uvažujme matici