Determinanty, soustavy rovnic

9. Determinanty, soustavy rovnic#

9.1. Určete následující determinanty#

  1. \(\displaystyle D_1= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 &3 \end{vmatrix}\)

  2. \(\displaystyle D_2= \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ x-4 &y-3 \end{vmatrix}\) (\(\displaystyle D_2=0\) je přímka daná bodem \(\displaystyle (4,3)\) a směrovým vektorem \(\displaystyle (2,-1)\))

  3. \(\displaystyle D_3= \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ 4 & 3-\lambda \end{vmatrix}\) (charakteristický polynom matice z prvního bodu)

  4. \(\displaystyle D_4= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 &-1 & 2\end{vmatrix}\)

\(\displaystyle D_5= \begin{vmatrix} a & -1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \\ -1 &-1 & 2\end{vmatrix}\)

  1. \(\displaystyle D_6= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0& 7-\lambda \end{vmatrix}\) (charakteristický polynom diagonální matice)

9.2. Soustava lineárních rovnic s jediným řešením#

Vyřešte soustavu rovnic.

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 &2 &2 \\ 2 &2 &-1\\ 2 &3 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1\\-1 \end{pmatrix} \end{split}\]

Soustava rovnic je asi nejdůležitější aplikace lineární algebry, ale v dnešním světě není důvod ji řešit ručně. Je však užitečné si alespoň základní manipulace vyzkoušet na jednoduchém příkladě. Tento moc času nezabere.

9.3. Soustava lineárních rovnic s nekonečně mnoha řešeními#

Vyřešte soustavu rovnic.

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 3 &-1 &-1 &-1\\ 2 &1 &1 &-2 \\ 1 &-2 &-2 &1 \\ 3 &-1 &-1 &1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3\\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{split}\]

Soustava s nekonečně mnoha řešeními typicky vychází při hledání vlastních čísel matice. Na tomto příkladě si osaháme případ homogenní soustavy a jednoparametrického řešení, tj. případ, který při výpočtu vlastních vektorů vychází nejčastěji.

Obsah