5. Integrály I

• Naučíme se hledat neurčitý integrál funkce. Stačí mít po ruce vzorce.

• Naučíme se hledat určitý integrál funkce.

• Procvičíme si interpretaci integrálu v kontextu změny veličiny, která se mění nekonstantní rychlostí.

• Výpočet na počítači pomocí WolframAlpha nebo Pythonu (možno automatizovat, spustit v cyklu nebo zakomponovat do rozsáhlejšího výpočtu, vzorový postup vygeneruje ChatGPT)

5.1. Výpočet integrálu

Najděte následující integrály.

1. \(\displaystyle \int x^2+2x\mathrm dx\)

2. \(\displaystyle \int \sqrt{x}\Bigl(x+\sqrt{x}\Bigr)\mathrm dx\)

3. \(\displaystyle \int \frac 1{\sqrt x}+\sqrt x\mathrm dx\)

4. \(\displaystyle \int \frac{x^2-1}x\mathrm dx\)

5. \(\displaystyle \int e^x+e^{2x}\mathrm dx\)

6. \(\displaystyle \int \sin\left(x+\frac \pi 3\right)\mathrm dx\)

7. \(\displaystyle \int \frac 1{4x^2}\mathrm dx\)

8. \(\displaystyle \int \frac 1{4+x^2}\mathrm dx\)

9. \(\displaystyle \int \frac 1{1+4x^2}\mathrm dx\)

10. \(\displaystyle \int \frac 1{r^2}-\frac 1{r^6}\,\mathrm dr\)

11. \(\displaystyle \int _0^{\frac \pi 2} \cos x\mathrm dx\)

12. \(\displaystyle \int _0^1(x-1)^3\mathrm dx\)

13. \(\displaystyle \int _{-1}^{1} 3x^2+x^5\mathrm dx\)

14. \(\displaystyle \int_0^{10} e^{-0.1 t}\,\mathrm dt\)

15. \(\displaystyle \int_{-a}^{a} u^3\,\mathrm du\)

Řešení

Používáme vzorce \(\displaystyle \int x^n\,\mathrm dx=\frac 1{n+1}x^{n+1}+c\), \(\displaystyle \int e^x\,\mathrm dx=e^x+c\), \(\displaystyle \int e^{ax}\,\mathrm dx=\frac 1a e^{ax}+c\) a dále linearitu (integrál zachovává součet a konstantní násobek)

1. \(\displaystyle \int x^2+2x\,\mathrm dx=\frac 13 x^3 + 2\frac 12 x^2 = \frac 13 x^3+x^2+c\)

2. \(\displaystyle \int \sqrt x(x+\sqrt x)\,\mathrm dx=\int x\sqrt x+\sqrt x\sqrt x\,\mathrm dx=\int x^{\frac 32}+x\,\mathrm dx=\frac 25 x^{\frac 52}+\frac 12 x^2+c\)

3. \(\displaystyle \int \frac 1{\sqrt x}+\sqrt x \,\mathrm dx=\int x^{-\frac 12}+x^{\frac 12}\,\mathrm dx=2x^{\frac 12}+\frac 23 x^{\frac 32}+c\)

4. \(\displaystyle \int \frac{x^2-1}{x}\,\mathrm dx=\int x-\frac 1x \,\mathrm dx=\frac {x^2}{2} - \ln|x|+C\)

5. \(\displaystyle \int e^x+e^{2x}\,\mathrm dx=e^x+\frac 12 e^{2x}+c\)

6. \(\displaystyle \int \sin\left(x+\frac\pi 3\right)=-\cos\left(x+\frac \pi3\right)+C\)

7. \(\displaystyle \int\frac{1}{4x^2}\,\mathrm dx=\frac 14 \int x^{-2}\,\mathrm dx=\frac 14 (-1)x^{-1}=-\frac {1}{4x}+c\)

8. \(\displaystyle \int \frac{1}{4+x^2}\,\mathrm dx=\frac 12 \mathop{\mathrm{arctg}} \frac x2 +C\)

9. \(\displaystyle \int \frac{1}{1+4x^2}\,\mathrm dx=\int \frac{1}{1+(2x)^2}\,\mathrm dx=\frac 12 \mathop{\mathrm{arctg}} 2x +C\)

10. \(\displaystyle \int \frac 1{r^2}-\frac 1{r^6}\,\mathrm dr=\int r^{-2}-r^{-6}\,\mathrm dr=(-1)r^{-1}+\frac 15 r^{-5}=-\frac 1r+\frac 1{5r^5}+c\)

11. \(\displaystyle \int_0^{\frac \pi2}\cos(x)\,\mathrm dx=[\sin x]_0^{\frac \pi2}=\sin\frac \pi2- \sin 0=1\)

12. \(\displaystyle \int_0^1 (x-1)^3\,\mathrm dx=\left[\frac 14 (x-1)^4\right]_0^1=\frac 14 (1-1)^4- \frac 14 (0-1)^4=-\frac 14\)

13. \(\displaystyle \int_{-1}^1 3x^2+x^5\,\mathrm dx=\left[x^3+\frac 16 x^6\right]_{-1}^1=\left(1^3+\frac 16 1^6\right)-\left((-1)^3+\frac 16 (-1)^6\right)=2\)

14. \(\displaystyle \int_0^{10} e^{-0.1 t}\,\mathrm dt=\left[-10 e^{-0.1t}\right]_0^{10}=-10 e^{-0.1\times 10}-\left(-10 e^{-0.1\times 0}\right)=-10 e^{-1}+10\)

15. \(\displaystyle \int_{-a}^{a} u^3\,\mathrm du=\left[\frac 14 u^4\right]_{-a}^a=\frac 14 a^4 - \frac 14 (-a)^4 = 0\)

5.2. Vytékání oleje

Obr. 5.12 pixabay.com

Najděte slovní interpretaci integrálu

\[ \int_0^{10} r(t)\mathrm dt, \]

kde \(\displaystyle r(t)\) je rychlost s jakou vytéká olej z děravé nádrže (v litrech za hodinu) a \(\displaystyle t\) je čas v hodinách. Vypočtěte integrál pro \(\displaystyle r(t)=200-4t\).

Toto a další příklady jsou klasické aplikace integrálu, kdy integrálem rychlosti, s jakou se mění nějaká veličina, je změna této veličiny.

Řešení

Integrál udává objem oleje, který vyteče za prvních 10 hodin. Pro zadanou funkci dostáváme

\[ \int_0^{10}r(t)\mathrm{d}t= \int_0^{10}(200-4t)\mathrm{d}t= \left[200t-2t^2\right]_0^{10}= 2000-200-(0-0)=1800. \]

Za 10 hodin vyteče 1800 litrů oleje.

5.3. Populace včel

Obr. 5.13 pixabay.com

Populace včel o počáteční velikosti 100 včel se rozmnožuje rychlostí \(\displaystyle r(t)\). Najděte slovní interpretaci výrazů

\[ \int_0^{15} r(t)\mathrm dt, \]

a

\[ 100+\int_0^{15} r(t)\mathrm dt. \]

Řešení

První integrál značí přírůstek populace včel za patnáct jednotek času, druhý integrál značí celkovou velikost populace včel po uplynutí patnácti jednotek času. (Jednotky času nejsou v zadání specifikovány.)

5.4. Napouštění nádrže

Chemikálie teče do nádrže rychlostí \(\displaystyle 180+3t\) litrů za minutu, kde \(\displaystyle t\in [0,60]\) je čas v minutách. Určete, kolik chemikálie nateče do nádrže během prvních 20 minut.

(Podle Stewart: Calculus.)

Řešení

Změna množství v nádrži je integrál rychlosti, tj.

\[ \int_0^{20} (180+3t)\,\mathrm dt=180\times 20 + \left[\frac 32 t^2\right]_0^{20}=4\, 200 \,\mathrm l. \]

5.5. Prasklá kanalizace

Obr. 5.14 pixabay.com

Prasklá kanalizace způsobila znečištění jezera v rekreační oblasti. Koncentrace bakterií \(\displaystyle C(t)\) (v bakteriích na kubický centimetr, \(\displaystyle t\) je čas ve dnech) se po ošetření úniku pro \(\displaystyle t\in[0,6]\) vyvíjí rychlostí

\[C'(t)=10^3(t-7).\]

Jaká je změna koncentrace bakterií mezi čtvrtým a šestým dnem?

(Podle Mardsen, Weinstein: Calculus I.)

Řešení

Změna koncentrace je integrál z rychlosti s jakou se koncentrace mění, tj.

\[ \int_4^6 10^3(t-7)\,\mathrm dt= \left[10^3\left (\frac 12 t^2-7t\right)\right]_4^6=-4000 \]

a koncentrace poklesne o \(\displaystyle 4000\) jednotek (bakterií na kubický centimetr).

5.6. Rychlost učení

Obr. 5.15 vlastní

Nechť \(\displaystyle W(t)\) je počet francouzských slovíček, které se naučíme po \(\displaystyle t\) minutách. Typicky může být (pro první dvě hodiny učení)

\[W(0)=0\quad \text {a} \quad W'(t)=\frac{4t}{100}-3\left (\frac t{100}\right)^2.\]

Najděte pomocí integrálu funkci \(\displaystyle W(t)\).

(Podle Mardsen, Weinstein: Calculus I.)

Řešení

Výsledná funkce integrálem rychlosti učení, tj.

\[ W(t)=\int W'(t) \,\mathrm dt = \int \frac{4t}{100}-3\left (\frac t{100}\right)^2 \,\mathrm dt =\frac {2t^2}{100}-\frac{t^3}{10000} +C, \]

kde \(\displaystyle C\) je integrační konstanta. Protože musí platit \(\displaystyle W(0)=0\), je \(\displaystyle C=0\) a proto

\[ W(t)=\frac {2t^2}{100}-\frac{t^3}{10000}. \]

Jiné řešení je pomocí určitého integrálu najít změnu a poté přičíst k počáteční hodnotě. Aby nedošlo ke kolizi mezi označením integrační proměnné \(\displaystyle t\) a mezi koncem časového intervalu, budeme tento konec časového intervalu označovat \(\displaystyle T\). Tedy platí

\[ w(T)=w(0)+\int_0^T w'(t)\,\mathrm dt= 0+ \int_0^T \frac{4t}{100}-3\left (\frac t{100}\right)^2 \,\mathrm dt =\frac {2T^2}{100}-\frac{T^3}{10000}. \]

Tedy

\[ w(T)=\frac {2T^2}{100}-\frac{T^3}{10000} \]

a po přeznační proměnné máme stejný výsledek jako předešlým postupem.

5.7. Určení parametru tak, aby integrál měl zadanou hodnotu

V praktických úlohách je někdy situace, kdy integrujeme funkci s parametrem a hodnotu parametru je nutno doladit tak, aby integrál měl předem stanovenou hodnotu. Určete hodnotu reálného parametru \(\displaystyle a\) tak, aby byl integrál

\[\int_0^{10} a \sqrt x\,\mathrm dx\]

roven hodnotě 2019.

Řešení

\[\int _0^{10} a\sqrt x=\left[a\frac 23 x^{\frac 32}\right]_0^{10}=\frac {2a}{3}(10)^{\frac 32}\]

\[\begin{split}\begin{aligned} 2019&=\frac {2a}{3}(10)^{\frac 32}\\ a&=\frac 32 2019 (10)^{-\frac 32}\end{aligned}\end{split}\]

5.8. Práce na pružině (volitelné)

Síla působící na pružinu je úměrná deformaci pružiny. Natáhneme-li pružinu z rovnovážného stavu o hodnotu \(\displaystyle x\), je nutno působit silou \(\displaystyle kx\), kde \(\displaystyle k\) je konstanta (tuhost pružiny). Vypočtěte práci nutnou k natažení pružiny z nedeformovaného stavu o jednotkovou délku a poté o délku \(\displaystyle l\).

Po obecném výpočtu vypočtěte práci pro pružinu o zadané tuhosti \(\displaystyle k\) a deformaci \(\displaystyle \Delta x\). Výpočet proveďte určitým integrálem třikrát, postupně pro jednotku délky centimetr, decimetr a metr. Až po dokončení výpočtu převeďte na joule (newton krát metr).

\[k=10 \,\mathrm{N}/\mathrm{cm}=100 \,\mathrm{N}/\mathrm{dm}=1000 \,\mathrm{N}/\mathrm{m}, \qquad \Delta x=10\,\mathrm{cm}=1\,\mathrm{dm}=0.1\,\mathrm{m}\]

Všimněte si, že v každém případě se integruje jiná funkce a v jiných mezích. Protože však všechny výpočty charakterizují stejnou situaci, výsledky jsou po převedení na stejné jednotky stejné, což je očekávané. Změna jednotek je speciální případ substituce, kdy proměnnou podle které integrujeme nahradíme proměnnou jinou. Tuto metodu si pro integrál představíme na přednášce.

Řešení

Jednotková délka:

\[W=\int_0^1 F\,\mathrm dx = \int_0^1 kx\,\mathrm dx = \left[k\frac 12 x^2\right]_0^1=\frac 12 k-0=\frac 12 k\]

Délka \(\displaystyle l\):

\[W=\int_0^l F\,\mathrm dx = \int_0^l kx\,\mathrm dx = \left[k\frac 12 x^2\right]_0^l=\frac 12 kl^2-0=\frac 12 kl^2\]

Výpočet v centimetrech:

\[W=\int_0^{10} 10 x\,\mathrm dx = \left[5 x^2\right]_0^{10}=5\times 100=500\,\mathrm N \mathrm{cm}=5\,\mathrm N\mathrm m\]

Výpočet v decimetrech:

\[W=\int_0^{1} 100 x\,\mathrm dx = \left[50 x^2\right]_0^{1}=50\,\mathrm N \mathrm{dm}=5\,\mathrm N\mathrm m\]

Výpočet v metrech:

\[W=\int_0^{0.1} 1000 x\,\mathrm dx = \left[500 x^2\right]_0^{0.1}=500\times 0.01\,\mathrm N \mathrm{m}=5\,\mathrm N \mathrm{m}\]