12. Dvojný integrál#
12.1. Kvadratický moment pro obdélník#
Vypočtěte integrál
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\iint_\Omega y^2\,\mathrm dx \mathrm dy,\\
\end{aligned}
\end{split}\]
přes obdélník se stranami podél os, se středem v počátku a délkou stran \(\displaystyle a\) a \(\displaystyle b\), tj. přes množinu \(\displaystyle \Omega\) danou nerovnostmi
\[\begin{split}
\begin{aligned}
-\frac a2\leq &x\leq \frac a2,\\
-\frac b2\leq &y \leq \frac b2.
\end{aligned}
\end{split}\]
Řešení
\[
\begin{aligned}
\iint_\Omega y^2\,\mathrm dx \mathrm dy
= \int_{-\frac a2}^{\frac a2} \,\mathrm dx \times \int_{-\frac b2}^{\frac b2}y^2\,\mathrm dy=a\times \left[\frac 13 y^3\right]_{-\frac b2}^{\frac b2}=a\times \left(\frac 13 \times \frac {b^3}{8} + \frac 13 \times \frac {b^3}{8}\right)= \frac 1{12}ab^3
\end{aligned}
\]
12.2. Těžiště trojúhelníku#
Vypočtěte integrál
\[ \iint_\Omega x\,\mathrm dx \mathrm dy
\]
přes trojúhelník \(\displaystyle \Omega\) s vrcholy v bodech \(\displaystyle (0,0)\), \(\displaystyle (1,0)\) a \(\displaystyle (0,1)\) a poté vydělením obsahem trojúhleníka najděte \(\displaystyle x\)-ovou polohu těžiště.
Řešení
Rovnice přímky, ve které leží přepona trojúhelníka, je
\[y=1-x\]
a trojúhelník tedy je možno zapsat soustavou nerovností
\[\begin{split}
\begin{aligned}
0\leq &x\leq 1,\\
0\leq &y \leq 1-x.
\end{aligned}
\end{split}\]
Použitím těchto nerovností můžeme dvojný integrál transformovat na dvojnásobný a vypočítat.
\[\begin{split}
\begin{aligned}
\iint_\Omega x\,\mathrm dx\mathrm dy
&=\int_0^1 \int_0^{1-x} x\,\mathrm dy\mathrm dx
=\int_0^1 \left[xy\right]_0^{1-x}\,\mathrm dx
=\int_0^1 x(1-x)\,\mathrm dx
\\&=\int_0^1 x-x^2\,\mathrm dx
=\left[\frac 12 x^2 - \frac 13 x^3\right]_0^1
\\&=\frac 12 -\frac 13 =\frac 1{6}
\end{aligned}
\end{split}\]
\[x_T=\frac{\frac 16}{\frac 12}=\frac 13\]
12.3. Velikost tlakové síly na hráz přehrady#
Viz video ke cvičení a text k přednášce.
12.4. Působiště tlakové síly na hráz přehrady#
Viz video ke cvičení a text k přednášce.