12. Dvojný integrál#

12.1. Kvadratický moment pro obdélník#

Vypočtěte integrál

$$\begin{array}{r}\begin{array}{c}{\iint }_{\mathrm{\Omega }}{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\end{array}\end{array}$$

přes obdélník se stranami podél os, se středem v počátku a délkou stran ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$, tj. přes množinu ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ danou nerovnostmi

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}-\frac{a}{2}\le & x\le \frac{a}{2},\\ -\frac{b}{2}\le & y\le \frac{b}{2}.\end{array}\end{array}$$

Řešení

$$\begin{array}{r}{\iint }_{\mathrm{\Omega }}{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\mathrm{d}x\times {\int }_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}{y}^2\mathrm{d}y=a\times {\left[\frac{1}{3}{y}^3\right]}_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}=a\times (\frac{1}{3}\times \frac{b^3}{8}+\frac{1}{3}\times \frac{b^3}{8})=\frac{1}{12}a{b}^3\end{array}$$

12.2. Těžiště trojúhelníku#

Vypočtěte integrál

$${\iint }_{\mathrm{\Omega }}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

přes trojúhelník ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ s vrcholy v bodech ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$ a ${\displaystyle (0,1)}$ a poté vydělením obsahem trojúhleníka najděte ${\displaystyle x}$-ovou polohu těžiště.

Řešení

Rovnice přímky, ve které leží přepona trojúhelníka, je

$$y=1-x$$

a trojúhelník tedy je možno zapsat soustavou nerovností

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}0\le & x\le 1,\\ 0\le & y\le 1-x.\end{array}\end{array}$$

Použitím těchto nerovností můžeme dvojný integrál transformovat na dvojnásobný a vypočítat.

$$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}{\iint }_{\mathrm{\Omega }}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}x\mathrm{d}y\mathrm{d}x={\int }_0^1{\left[xy\right]}_0^{1-x}\mathrm{d}x={\int }_0^{1}x(1-x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{1}x-x^2\mathrm{d}x={[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_0^1\\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{array}\end{array}$$

$$x_T=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$$

12.3. Velikost tlakové síly na hráz přehrady#

Viz video ke cvičení a text k přednášce.

12.4. Působiště tlakové síly na hráz přehrady#

Viz video ke cvičení a text k přednášce.