7. Lineární algebra (operace s vektory a maticemi)#
Motivace (stručně).
Naučíme se efektivně pracovat s libovolně velkými soustavami rovnic.
Naučíme se zobrazovat vektory na vektory, které nemusí mířit stejným směrem. To vede k novému typu fyzikálních veličin, k tenzorům.
Motivace (podrobněji).
V předchozích přednáškách jsme se seznámili s derivacemi, s nástroji umožňující převést fyzikální představu o procesech v materiálu do kvantitativní podoby, kdy dokážeme studované jevy kvantifikovat. V praxi však je analytické řešení těchto fyzikálních modelů realizovatelné pouze v nejjednodušších případech. Pro netriviální příklady používáme numerický přístup, který je v mnoha případech nakonec redukován na řešení soustavy rovnic. Tyto soustavy mají typicky obrovské množství rovnic a neznámých (řádově i v jednoduchých aplikacích řádově desetitisíce nebo statisíce rovnic) a proto je nutné mít k dispozici nástroje, umožňující práci s takto obrovskými soustavami rovnic. V této přednášce si představíme nové objekty, matice, se kterými je libovolně velkou soustavu rovnic možno zapsat jako jeden součin tvaru
V úvodní přednášce jsme naformulovali rovnici vedení tepla jako rovnici, popisující fyzikální podstatu přenosu tepla v materiálu. Tento popis je ve vícerozměrných úlohách nutno zobecnit na dvourozměrný nebo trojrozměrný případ. Potom však u materiálu, který má v různých směrech různé vlastnosti, dochází k tomu, že odezva nemá stejný směr jako podnět. Například u vedení tepla je tok tepla dán směrem poklesu teploty jenom částečně. Vlivem vysoké vodivosti v podélném směru ve srovnání s příčným směrem však je tok tepla odkloněný částečně do podélného směru. Pro popis takového procesu tedy potřebujeme zobrazení, které dokáže změnit nejenom délku, ale i směr vektoru. Toto zobrazení je možné realizovat pomocí matic.
7.1. Vektory#
7.1.1. Operace s vektory#
Vektorem rozumíme uspořádanou
Definice (Vektory, vektorový prostor)
Množinu
Vektorový prostor, jehož komponenty jsou uspořádané
Často pracujeme se sloupcovými vektory. Zápis je potom přehlednější.
Neutrálním prvkem vzhledem ke sčítání vektorů je nulový vektor
7.1.2. 2D a 3D a vektory v geometrii#

Obr. 7.1 Modrý vektor je součtem ostatních tří vektorů. U černého vektoru je pravoúhlý trojúhelník pro výpočet délky pomocí Pythagorovy věty. Zdroj: Wikiepdie.#
Dvourozměrné vektory s komponentami danými reálnými čísly můžeme
reprezentovat graficky pomocí orientovaných úseček. Ve zvolené
soustavě souřadnic a při zvoleném výchozím bodu vektor znázorníme
takovou orientovanou úsečkou, že komponenty vektoru označují změnu
polohy v jednotlivých směrech. Sčítání vektorů
odpovídá posunutí počátečního bodu druhého vektoru do koncového bodu
prvního vektoru a nahrazení dvou částečných posunutí jedním
celkovým. Je přirozené zavést délku vektoru
7.1.3. Lineární kombinace#
Definice (Lineární kombinace)
Nechť
Výpočet lineární kombinace si můžete vyzkoušet online.
Úkol
Obr. 7.2 Stejný modrý vektor vyjádřený ve dvou různých bázích ve 3D, v červené a fialové bázi. Bázové vektory volíme zpravidla jednotkové délky, na obrázku už jsou vynásobeny vhodnými konstantami tak, abychom jako lineární kombinaci obdrželi požadovaný vektor. Zdroj: Wikipedia.#
Příklad. Lichoběžníkové pravidlo
ukazuje, že určitý integrál je možno aproximovat lineární kombinací funkčních hodnot na pravidelné mřížce rozdělující obor integrace. Koeficienty lineární kombinace jsou dvojky s vyjímkou prvního a posledního koeficientu, které jsou jednotkové. Existují i další aproximační vzorce, které používají jiné koeficienty a jsou založeny například na aproximaci funkce parabolami namísto přímek.
Příklad. V metodě konečných diferencí (viz druhá přednáška o derivacích) se derivace aproximují výrazy, které jsou lineární kombinací po sobě jdoucích funkčních hodnot hledané funkce na pravidelné mřížce délky
7.1.4. Model migrace jako přepínání stavů#

Obr. 7.3 Markovovy řetězce umožňují modelování situací, ve kterých dochází k přepínání stavů. Například migrace mezi městem a venkovem. Zdroj: pixabay.com#
Na příkladě si ukážeme, kdy je přirozené pracovat s lineárními kombinacemi vektorů. Pokusíme se na jednoduchém modelu migrace mezi městem a venkovem demonstrovat přístup, který se používá v případech, kdy je možné rozdělit jednotlivé části systému do konečného počtu navzájem disjunktních stavů a jednotlivé části mohou měnit svůj stav, přičemž pravděpodobnost změny je dána pouze současným stavem a ne například historií předchozích stavů. Aplikace zahrnují například modelování vegetace na stanovištích (zájmová oblast je rozdělena na stanoviště a ke každému stanovišti je přiřazen převažující typ vegetace), pro modelování změn druhového složení v lese nebo v krajině, ale i v hydrologických modelech, předpovědi počasí a jinde. Základní model má řadu rozšíření a ukážeme si jej jen v nejjednodušší formě a na případě dvou stavů.
Slovní formulace: Každý rok měříme velikosti populací ve městě a na
venkově. Na počátku
Matematický model: Procentuální složení zaznamenáváme ve formě vektoru. Na počátku bude
Podobně, rozložení po dvou letech bude dáno lineární kombinací s
koeficienty, danými vektorem
7.1.5. Lineární závislost a nezávislost vektorů#
V
Aby použití souřadnic mělo smysl, musí existovat jediná možnost jak daný vektor vyjádřit pomocí lineární kombinace zadaných bázových vektorů. Tato úloha se dá redukovat na úlohu, zda taková jednoznačnost existuje u nulového vektoru. Tím je motivována následující úvaha a z ní vyplývající definice.
Výsledkem triviální lineární kombinace, tj. lineární kombinace s nulovými koeficienty, je nulový vektor. Pro některé vektory můžeme nulový vektor dostat i jako jinou lineární kombinaci, než je ta triviální. Ukazuje se, že je důležité identifikovat tyto případy a pro rozlišení toho, zda se nulový vektor dá nebo nedá vyjádřit jako netriviální lineární kombinace zavedeme nové pojmy, lineární závislost a nezávislost.
Definice (Lineární závislost a nezávislost)
Řekneme, že vektory
Platí následující.
Vektory, které tvoří bázi, jsou lineárně nezávislé.
Je-li vektorů větší počet, než je dimenze prostoru, jsou tyto vektory lineárně závislé.
Je-li v posloupnosti vektorů některý vektor násobkem jiného vektoru nebo lineární kombinací ostatních vektorů, jedná se o lineárně závislou posloupnost vektorů.
Ve výše uvedených případech poznáme lineární závislost snadno. Mimo tyto případy je to snadné pouze pro dvojici vektorů, které jsou lineárně závislé právě tehdy když je jeden vektor násobkem druhého. V tom případě říkáme, že vektory mají stejný směr. V ostatních případech se lineární závislost a nezávislost naučíme posuzovat později při výpočtu hodnosti.
7.2. Pootočení vektoru#

Obr. 7.4 Jednotkové vektory ve směru os pootočíme o úhel
Ve dvourozměrném vektorovém prostoru uvažujme jednotkové vektory ve směru souřadných os
7.3. Matice#
7.3.1. Matice a jejich lineární kombinace#
Definice (Matice)
Maticí řádu
Je-li
Pro matice definujeme sčítání a násobení číslem stejně jako u vektorů, tj. po složkách. Má potom smysl mluvit o lineární kombinaci matic a o jejich lineární závislosti či nezávislosti. Tyto operace přirozeně přebírají všechny důležité vlastnosti operace sčítání, jako jsou asociativita, komutativita, existence neutrálního prvku nebo existence opačného prvku.
V této fázi je vlastně jedno, jestli prvky jsou uspořádány jako řádkový nebo sloupcový vektor nebo jako matice. Odlišení matic a vektorů provedeme zavedením maticového součinu.
7.3.2. Maticový součin#
Definice (Součin matic)
Buďte
Slovy: v
Na maticový součin můžeme pohlížet i pomocí pojmů známých z analytické geometrie. Prvky v součinu matic jsou skalárními součiny řádků první matice se sloupci druhé matice.
Maticový součin
je asociativní
je distributivní vzhledem ke sčítání
není však komutativní (
je obecně různé od , proto v předchozím máme roznásobování závorky zleva i zprava),ale při násobení skalárem komutativní je:
je reálné číslo a a jsou matice.
Můžeme tedy měnit uzávorkování, můžeme roznásobovat závorky, nesmíme však měnit pořadí matic při násobení.
7.3.3. Neutrální prvek maticového součinu#
U každé operace nás zajímá neutrální prvek, což je prvek, který se v dané operaci nijak neprojeví. Třeba u sčítání čísel je neutrálním prvkem nula, při násobení čísel je neutrálním prvkem jednička. Pokud nějaký prvek potřebujeme zapsat ve tvaru součinu, zapíšeme ho jako součin sebe sama s jedničkou. To využijeme například při vytýkání ve kterém u vytýkaného prvku nefiguruje v některém členu druhý součinitel, jako třeba ve výpočtu
Neutrálním prvkem při násobení matic čtvercových je čtvercová
matice, která má jedničky v hlavní diagonále a nuly mimo tuto
diagonálu. Tato matice se nazývá jednotková matice a označuje
Například pro matice
Výpočet operací s maticemi je nejlepší se naučit při výpočtu konkrétních příkladů. Ty si můžete vyzkoušet online na následujících odkazech.
Úkol Úkol Úkol7.4. Aplikace maticového součinu 1/3#
Nejdůležitější aplikací maticového součinu je to, že pomocí maticového součinu je možné vyjádřit zobrazení, kde na vstupu i na výstupu jsou vektorové veličiny. To umožní rozšířit fyzikální zákony na anizotropní látky (různé vlastnosti v různých směrech, například dřevo nebo obecně látky vykazující uspořádanou strukturu). Kromě fyzikálních veličin, které mají číselnou hodnotu (skaláry) nebo číselnou hodnotu a směr (vektory) tak získáváme další fyzikální veličiny, tenzory. Více viz níže a též podkapitola „Matice jako zobrazení v materiálovém inženýrství“.
Je-li druhá matice v součinu sloupcový vektor
7.5. Aplikace maticového součinu 2/3#
Volitelný obsah 7.1 (Derivace diskrétní funkce)
Z numerické aproximace derivace víme, že derivace umíme aproximovat výrazy, které jsou lineární kombinací po sobě jdoucích funkčních hodnot hledané funkce na pravidelné mřížce délky
Pomocí maticového součinu dokážeme reprezentovat libovolné zobrazení, které zachovává součet a násobení konstantou, mezi něž derivování patří. Jiný přístup k maticové formulaci derivace, k derivování na množině polynomů, si ukážeme ve cvičení.
7.5.1. Markovovy řetězce#

Obr. 7.5 Markovovy řetězce umožňují modelování situací, ve kterých dochází k přepínání stavů. Například migrace mezi městem a venkovem. Zdroj: pixabay.com#
Budeme pokračovat v příkladě s migrací. Viděli jsme, že po jednom roce je tedy rozložení populace dáno vektorem
Takový rekurentní vzorec je možno chápat jako jakýsi stavový automat, který řídí přepínání mezi dvěma stavy (obyvatel města, obyvatel vesnice). V matematice se nazývá Markovův řetězec. Protože uvnitř matice jsou pravděpodobnosti a v každém sloupci vždy nastane právě jeden z jevů, který tyto pravděpodobnosti reprezentují, je součet čísel v každém sloupci matice roven jedné. V obecných stavových modelech, kde se nepracuje s pravděpodobností, jako je například Leslieho model růstu populace níže, tato podmínka platit nemusí.
(Podle D. Lay, Linear algebra. Markovovy řetězce viz též Wikipedie, ale pozor: někdy se místo zde představeného zápisu používá zápis s řádkovým vektorem nalevo od matice popisující změnu stavů.)
7.5.2. Růst populace pomocí Leslieho matice#

Obr. 7.6 Patrick Holt Leslie (1900-1972) roku 1945 publikoval v časopisu Biometrika On the use of matrices in certain population mathematics. V něm sestavil a analyzoval model růstu počtu samic v populaci potkanů (Rattus norvegicus); jeho model ovšem může být stejně dobře použit pro lidskou nebo jinou populaci. Zdroj: pixabay.com#
Leslieho model používá matice pro modelování vývoje populace, který zohledňuje věkovou strukturu populace. Model předpokládá, že populace je rozdělena do několika věkových kategorií a v každé kategorii je dána pravděpodobnost dožití se do další kategorie a průměrný počet potomků. Situace je podobná jako u Markovova řetězce s tím, že nenulový prvek matice bude jenom tam, kde dochází k přesunu do další věkové kategorie nebo tam, kde kumulujeme počet nově narozených jedinců v nejnižší věkové kategorie pro jednotlivé věkové skupiny rodičů.
Příslušný model například pro populaci rozdělenou do tří věkových kategorií by byl dán rovnicí
Opakovaným násobením získáme věkovou strukturu populace v další generaci a toto se opakuje podobně jako u Markovova řetězce.
Původně byl Leslieho model odvozen pro modelování populace samic, dá se však adaptovat na populaci obecně.
Další informace:
7.5.3. Analýza sítí a toků v sítích#

Obr. 7.7 Jednoduchý potravní řetezec. Zdroj: https://linearalgebraapplications19.wordpress.com/2019/04/29/food-webs/#
Matice je možné použít k analýze sítí a toků v sítích, kdy sítí rozumíme například potravní řetězec, kaskádu chemických a biochemických reakcí představujících metabolismus živého organismu a podobně. Matice umožňují hledat v sítích zákonitosti a vazby, umožňují modelovat toky mezi uzly v sítích, umožňují provádění experimentů v počítači namísto laboratoře. To zrychluje, zlevňuje a zefektivňuje práci a umožňuje automatizaci a hlubší studium.
Jednoduchá ukázka potravní sítě je na obrázku a tato síť by se dala charakterizovat maticí
Analogicky bývají studovány metabolické sítě, kde místo vztahů jsou chemické reakce a prvky matice označují, které produkty v jakém množství vstupují do těchto reakcí (stoichiometrické koeficienty). Je-li
Reálné sítě mají tisíce uzlů a tisíce vztahů mezi nimi a není možné je studovat jinak, než matematickými metodami. Například model Escherichia Coli, hojně studované bakerie, obsahuje 1805 metabolitů, 2583 reakcí a 1367 genů. Matice umožňují studovat nejenom vztahy ale i intenzitu toku mezi jednotlivými metabolity a umožní studovat vliv vnějších zásahů, například knokautování některých genů nebo umístění bakerie do anaerobního prostředí. V příkladě s potravním řetězcem například můžeme (po dodání dalších informací do modelu) určit, jakým procentem se jednotlivé složky potravy podílí na celkovém jídelníčku a jak se toto složení změní při odstranění nějaké složky potravy.
7.6. Aplikace maticového součinu 3/3: matice jako zobrazení, tenzory#
Nyní se na zobrazení pomocí matice podíváme očima geometra a poté očima materiálového inženýra. Matici budeme chápat jako objekt, který je možné vynásobit s vekorem a získat jiný vektor. V určitém smyslu jde tedy o zobrazení, kdy vzory i obrazy jsou vektory.
7.6.1. Matice jako zobrazení v geometrii#


Obr. 7.8 Příklad transformace dané maticí. Zachovává se například rovnoběžnost a středy úseček. Přímky se zobrazují na přímky.#

Obr. 7.9 Transformace 3D objektu do roviny pomocí matice. Koeficienty matice můžou realizovat libovolné natočení.#
Je-li
Podobně je možné definovat i zobrazení mezi prostory jiných dimenzí. Například projekce 3D objektu do 2D. Protože zobrazení zachovává rovnoběžnost, není možné takto jednoduše obdržet například perspektivu. Protože se zachovává počátek, není možné zahrnout ani posunutí. V obou případech si pomáháme trikem, že přidáme další souřadnici, více viz Wikipedie a heslo Grafické transformace nebo Camera matrix.
Například matice
7.6.2. Matice jako zobrazení v materiálovém inženýrství#

Obr. 7.10 Na poli voda teče v podstatě z kopce, ale brázdy tvořící strukturu pole můžou směr stáčet a případně tok zpomalovat. Totéž se může dít a děje v řadě porézních materiálů. Zdroj: pixino.com#
Matice chápejme jako zobrazení, které má na vstupu vektor a na výstupu opět vektor. Vstupem bývá většinou podnět, kde rozhodující je nejenom síla podnětu, ale i jeho směr. Například nerovnováha tlaku. Výstupem bývá odezva, například proudění vyvolané nerovnováhou tlaku. Tato odezva v izotropním prostředí má směr podnětu, v prostředí s určitou strukturou by se však směr odezvy mohl odchýlit.
Užitečnost maticového součinu v materiálovém inženýrství si můžeme znázornit na proudění vody po povrchu země. Voda teče z kopce dolů, tento směr však můžeme ovlivnit vyoráním brázd. Hnací síla je gravitace, která směřuje z kopce dolů. Odezvou na gravitaci je tok vody, který směřuje velkou rychlostí dolů, pokud je pooráno po spádnici, malou rychlostí dolů, pokud je pooráno po vrstevnici a pokud je pooráno našikmo, tak něco mezi směrem dolů a směrem brázdy. V materiálu se může odehrávat totéž.
Výše popsané chování pozorujeme i u proudění podzemní vody, kde hnací silou kromě hladiny podzemní vody může být tlak, nebo u proudění vody ve dřevě, kde hnací silou definující pojem „z kopce dolů“ je nerovnoměrnost v rozložení koncentrace vody ve dřevě (jedna část dřeva má větší vlhkost než jiná část) nebo nerovnoměrnost v teplotě (termodifuze, Sorettův efekt, transport vlhkosti vyvolaný rozdílem teplot). Výsledné proudění však nemusí přesně sledovat pokles koncentrace vlhkosti. Například dřevo vede podélně vlhkost zpravidla více než desetkrát lépe než v jiných směrech a chová se tedy, jako by v něm byly brázdy odklánějící vodu do podélného směru.
Matematický prostředek, který umožňuje snadno vektoru změnit velikost nebo i směr je právě tenzor (matice) a maticový součin.
Poznámka (Tenzor)
Pod pojmem tenzor si můžeme představit veličinu, která figuruje v nějakém fyzikálním zákoně spojujícím dvě vektorové veličiny (podnět a odezvu na podnět) a násobení tenzorem definuje vztah mezi nimi. Pokud jsou podnětem a odezvou vektory, které mají stejný směr, stačí toto násobení provést pomocí skalární veličiny. Pokud však směr vektoru udávajícího odezvu není stejný jako směr vektoru udávajícího podnět, je nutné použít postup, který si s jiným směrem vektoru na vstupu a na výstupu poradí. A tímto postupem je právě maticový součin. Zatímco tedy například tok tepla v izotropních materiálech můžeme studovat pomocí skalárních materiálových charakteristik, tok tepla v anizotropních materiálech už musíme popisovat pomocí tenzorových materiálových charakteristik. Proto například u vedení tepla ve dřevě udáváme součinitele vedení tepla
7.7. Vlastní čísla a vlastní vektory#
U zobrazování vektorů pomocí maticového násobení nás velice zajímá, které směry se zachovávají, tj. kdy bude obrazem vektoru jeho násobek.
Definice (Vlastní vektor a vlastní hodnota matice)
Řekneme, že nenulový vektor
Vlastní čísla se nazývají též vlastní hodnoty matice. Každý nenulový vlastní násobek vlastního vektoru je vlastní vektor příslušný téže vlastní hodnotě.
Poznámka (Vlastní vektory a materiálové inženýrství)
Vlastní vektory jsou nesmírně důležité, protože definují směry, podél nichž se zobrazení chová „pěkně“. Tímto zobrazením může být třeba to, jak se působení vnější síly na těleso projeví na deformaci tohoto tělesa nebo jak se gradient teploty nebo vlhkosti projeví na proudění tepla či vody ve dřevě, půdě nebo jiném materiálu. Často se v aplikacích maticové zobrazení objevuje v konstitučních vztazích, vztazích mezi podnětem a materiálovou odezvou. Vlastní směry jsou tedy směry, ve kterých má odezva stejný směr jako podnět.
Pro pravidelně rostlé dřevo je snadné tyto směry určit, jsou to anatomické směry dřeva. Pro zkroucené dřevo nebo při studiu proudění vody, vzduchu či ropy v půdě to již tak snadné není a je nutné tyto směry vypočítat. To se naučíme později.

Obr. 7.11 Dřevo není izotropní materiál a nemá stejné vlastnosti v každém směru. Existují ale tři výrazné směry, vzhledem k nimž se dají mechanické a fyzikální vlastnosti popsat snadněji, než vhledem ke směrům ostatním. Matematicky se jedná o vlastní vektory příslušných maticových fyzikálních veličin. Zdroj: http://woodpoint.sk#

Příklad. Matice rotace nemá žádnou vlastní hodnotu (pokud tedy
uvažujeme vlastní hodnoty v množině reálných čísel), protože pootočením se
změní směr všech vektorů. Vlastní hodnoty existují pouze pro otočení o násobky
Příklad. Matice
Příklad. Matice
Příklad. Platí
Zda umíte použít součin matice a vektoru k ověření toho, zda je vektor vlastním vektorem a k nalezení vlastního čísla si můžete vyzkoušet online.
Úkol Úkol
Příklad. Stacionární stav Markovova řetězce je vlastním vektorem
matice, která tento řetězec reprezentuje. Příslušná vlastní hodnota je
Příklad. Vlastní hodnoty a vektory jsou jedním z hlavních stavebních kamenů algoritmu, kterým Google provádí hodnocení důležitosti webových stránek. Vlastní vektory se počítají iteračně, odpovídá to vlastně modelu, kdy Markovův řetězec začneme v libovolném výchozím stavu a postupným iterováním se dostaneme do stacionárního stavu reprezentovaného vlastním vektorem.
Příklad. Leslieho matice má jednu kladnou vlastní hodnotu. Příslušný vlastní vektor definuje rozložení četnosti zastoupení jednotlivých věkových kategorií u populace ve stacionárním stavu. (Toto není tvrzení patrné na první pohled, ale dá se dokázat.)
V aplikacích často bývá matice „symetrická podle diagonály“ a u takové matice vlastní vektory vždy existují. Co se přesně myslí pod pojmem „symetrická matice“ si uvedeme na následujícím slidu.
7.8. Transponovaná matice#
Definice (Transponovaná matice)
Buď
Příklad. Matice transponovaná k matici
Příklad. Skalární součin sloupcových vektorů (chápaných jako matice)
Příklad. Matice, která se nemění transponováním,
tj.
Věta (Souvislost transponování matice a maticového součinu)
Pro čtvercové matice platí
Příklad. Pro Markovův řetězec s maticí a sloupcovými vektory
7.9. Tenzor malých deformací#

Obr. 7.12 Metodami lineární algebry kombinovanými s diferenciálním počtem dokážeme ve zobrazení identifikovat tenzor malých deformací, složku související jenom se změnou tvaru. Odfiltrujeme tak posun či rotaci, které se změnou tvaru nesouvisí. Zdroj: pixabay.com#
Zobrazení roviny do sebe, které může odpovídat deformaci tělesa působením síly, je možné popsat dvojicí funkcí
Pro využití v dřevařských úlohách viz též A. Požgaj, Štruktúra a vlastnosti dreva str 318 nebo P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I, str. 40. Analogicky, ale pro rychlosti, je definován tenzor rychlosti přetvoření (deformační rychlost) používaný v hydrodynamice. Můžeme ji dostat jako derivaci tenzoru malých deformací (při studiu deformací), nebo jako symetrickou část matice vytvořené gradienty jednotlivých komponent rychlosti proudění. Pro proudění vody viz J. Říha, Matematické modelování hydrodynamických a disperzních jevů, kap. 3.3.
Obrázky a online výpočty, Sage.
Volitelný obsah 7.2 (Rozložení teploty na tepelně vodivé desce)
Následující text je motivační příklad ukazující aplikaci soustav lineárních rovnic na problém vedení tepla, souvislost s maticovým počtem a zejména přirozenou numerickou metodu řešení soustavy rovnic.
Ukážeme, že pomocí lineární algebry a maticového počtu je možno popsat funkci dvou proměnných popisující rozložení teploty na tepelně vodivé desce. Postup je takový, že budeme sledovat teplotu v referenčních bodech. Požadavek, že teploty v okolních bodech mají odpovídat našim představám o vedení tepla vyjádříme kvantitativně pomocí vhodné matice.

Obr. 7.13 Rozložení teploty na tepelně vodivé desce je možné přibližně zkoumat metodami lineární algebry. A až na některé triviální případy jinou možnost vlastně nemáme, protože přesné řešení rovnice vedení tepla je v prakticky zajímavých případech nereálné. Podobně to je s mechanickým namáháním nebo transportem látek porézním prostředím.#
Uvažujme čtvercovou desku, kterou si rozdělíme sítí na
Učiníme (poměrně realistický) předpoklad, že teplota v každém uzlovém bodě je díky tepelné vodivosti desky ovlivněna sousedními uzlovými body. Každý sousední bod má stejný vliv, proto teplota v uzlovém bodě bude přibližně rovna aritmetickému průměru teplot v sousedních bodech. Kvantitativně zformulováno, platí
anebo po úpravě
Poznámka. Rovnice popisující vedení tepla na základě fyzikálních principů je poměrně komplikovaně řešitelná a proto se zpravidla převádí na problém lineární algebry. Může to znít překvapivě, ale skončíme u něčeho podobného jako v našem jednoduchoučkém modelu. Výše uvedený postup se nazývá metoda konečných diferencí, ale jsou i další metody, například metoda konečných prvků. Společným znakem je rozdělení oblasti našeho zájmu na velké množství bodů a aproximace fyzikálních zákonů pro sledovaný jev v každém bodě pomocí lineární rovnice. Tím vznikne úloha na řešení soustavy rovnic. Používá se k modelování proudění tepla nebo vody, k modelování mechanického namáhání od jednoduchých nosníků po komplikované konstrukce nebo stromy. Soustava vytvořená pomocí takových modelů je velmi řídká, má hodně nul. Je proto možné ji rychle vyřešit i v případě tisíců rovnic. My se později například naučíme chytře využít toho, že každý řádek má v hlavní diagonále větší číslo, než je součet zbylých čísel v tomto řádku.
Iterační metoda
Soustavu (7.1) je možno vyřešit iterační metodou. Je možno postupovat intuitivně. Vyjdeme z libovolného odhadu řešení a teplotu v každém bodě budeme opakovaně nahrazovat průměrem teplot v okolních bodech, dokud se hodnoty neustálí. Kdy tento postup funguje a jak se dá zformalizovat si ukážeme později (Jacobiho metoda).
7.10. Shrnutí, hlavní myšlenky#

Obr. 7.14 A jaká je hlavní message? Zdroj: pixabay.com#
Seznámili jsme se s vektory. S objekty, které umožňují pracovat s veličinami mající kromě numerické hodnoty i směr.
Seznámili jsme se s maticemi, s objekty, které umožní pracovat se zobrazením vektorů na vektory, kdy směr vzoru a obrazu nemusí být (na rozdíl od násobení reálným číslem) stejný. Díky tomu dokážeme popsat reakci materiálu na podněty v případě, kdy má materiál v různých směrech různé vlastnosti.
Matice umožňují kompaktní zápis soustavy libovolného počtu lineárních rovnic jedinou rovnicí
V materiálovém inženýrství pomocí matic (přesněji pomocí tenzorů) umíme popsat materiály, mající v různých směrech různé vlastnosti. V takových materiálech je různý směr vnějšího podnětu a odezvy na vnější podnět a bez matic jenom s použitím skalárních veličin není možné se závislostmi takového typu pracovat. Pokud chceme zobrazení, které mění směr vektorů (a má některé další rozumné vlastnosti), používáme matice. Přesněji, používáme tenzory, které mají v souřadnicích podobu matic.