2.1. Aplikace derivací 3: Jak citlivě? (reakce na změnu)#

Derivace v bodě, pokud ji nahlížíme z hlediska citlivosti reakce funkce na změnu vstupních dat, udává, jaký vliv má jednotková změna ve vstupních datech na změnu funkční hodnoty funkce. Pokud změna ve vstupních datech není jednotková ale násobek jednotkové změny, je i odezva násobná.

Co se rozumí malou hodnotou ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$ závisí na více faktorech, například i na tom, jak se funkce „vzpírá“ tomu, být aproximována výrazem úměrným ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$. Přesněji tuto podmínku zformulujeme po probrání Taylorova polynomu, kdy se použije o něco obecnější postup.

Příklad. Nosník výšky ${\displaystyle h}$, šířky ${\displaystyle a}$ a délky ${\displaystyle L}$ je uprostřed zatížený silou ${\displaystyle F}$. Průhyb ${\displaystyle s}$ uprostřed nosníku je dán vztahem

kde ${\displaystyle E}$ je materiálová konstanta. Pro ${\displaystyle h=20\mathrm{cm}}$ je průhyb ${\displaystyle s=10\mathrm{cm}}$. Zjistěte, jak se průhyb mění při změnách výšky nosníku. Odhadněte, jak se průhyb změní, pokud se ${\displaystyle h}$ sníží na ${\displaystyle 18\mathrm{cm}}$?

Řešení. Relevantními veličinami jsou ${\displaystyle s}$ a ${\displaystyle h}$ a vzorec je tedy možno shrnout do tvaru

2.2. Lineární aproximace#

V následujících pasážích se budeme věnovat lineární aproximaci funkce. To je nahrazení funkce s jakkoli složitým funkčním předpisem funkcí s tím nejjednodušším možným předpisem: lineární funkcí. Tím se pochopitelně dopouštíme jisté nepřesnosti a je to něco za něco: k popisu úlohy máme poté k dispozici jednodušší funkce, ale výpočty jsou zatíženy chybou. Někdy tato chyba může být tak velká, že je idea lineární aproximace naprosto nepoužitelná. Ale jindy se jedná o nástroj, který prakticky neřešitelnou úlohu převede na úlohu snadno zvládnutelnou. Linearizace nelineárních úloh je jedním ze základních inženýrských postupů. V mnoha případech dává samotná dobré výsledky a řeší zadaný problém, v jiných případech slouží jako odrazový můstek ke zvládnutí nelineárního problému.

2.2.1. Lineární aproximace v 1D#

Pokud se funkce mění, můžeme odhad změny z předchozího odstavce přičíst k funkční hodnotě a tím máme odhad funkční hodnoty po změně. Toto je principem lineární aproximace, neuvěřitelně jednoduché a přitom velice mocné techniky používané inženýry k tomu, aby se popis problémů a řešení úloh vůbec daly efektivně zvládnout.

Věta (Lineární aproximace)

Buď ${\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ funkce, která má derivaci. V okolí bodu ${\displaystyle x_0}$ platí přibližný vzorec

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

neboli

$$f(x)\approx f(x_0)+\frac{\mathrm{d}f(x_0)}{\mathrm{d}x}(x-x_0).$$

Poznámka (Slovní interpretace vzorce pro lineární aproximaci)

Výše uvedený vzorec není těžké rozšifrovat.

• Veličina ${\displaystyle f(x)}$ je funkční hodnota v bodě ${\displaystyle x}$, tu chceme odhadnout.

• Veličina ${\displaystyle f(x_0)}$ je známá funkční hodnota v bodě ${\displaystyle x_0}$, to je ýchozí bod pro odhad.

• Veličina ${\displaystyle f^{\prime }(x_0)}$ je odhad změny veličiny ${\displaystyle f}$ způsobený jednotkovou změnou vstupních dat (zvýšení hodnoty ${\displaystyle x_0}$ o jednotku). Tento faktor ještě v dalším kroku musíme přizpůsobit tomu, že změna vstupních dat není jednotková, což uděláme s využitím přímé úměrnosti.

• Veličina ${\displaystyle f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}$ je odhad změny veličiny ${\displaystyle f}$ vyvolané změnou veličiny ${\displaystyle x}$ z ${\displaystyle x_0}$ o ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x=x-x_0}$ tak, jak jsme jej používali v minulé přednášce.

Poznámka (Alternativní vzorec pro lineární aproximaci)

Vzorec pro lineární aproximaci se často píše v ekvivalentním tvaru

$$f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)h,$$

což získáme dosazením ${\displaystyle x+h}$ za ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle x}$ za ${\displaystyle x_0}$.

Poznámka (Význam vzorce pro lineární aproximaci)

• Vzorec umožňuje složitý funkční předpis předpisem jednodušším (lineární funkce jsou jedny z nejtrivilálnějších).

• K použití vzorce stačí znát jeden bod grafu a funkční hodnotu a hodnotu derivace v tomto bodě.

• Aproximace je pouze lokální, použitelná pouze v určitém okolí uvažovaného bodu. Jak velké toto okolí může být a jaké chyby se dopouštíme při lineární aproximaci je různé pro různé funkce. Obecně platí, že čím blíže jsme k bodu ${\displaystyle x_0}$, tím je tato aproximace přesnější.

Příklad (růst stromu). Strom má v roce 2019 výšku 3 metry a roste rychlostí 0.5 metru za rok. V roce ${\displaystyle x}$ je jeho výška dána vzorcem

$$h(x)=3+0.5(x-2019).$$

Příklad (aproximace důležitých funkcí v okolí nuly). Ve cvičení ukážeme platnost následujících přibližných vzorců, které platí pro ${\displaystyle x}$ blízké k nule.

$$\sin x\approx x,\cos x\approx 1,(1+x{)}^n\approx 1+nx.$$

První dva vzorce využijeme později při popisu malých rotací v rovině. Mnoho důležitých aplikací těchto vzorců ve fyzice je na webu fyzikální olympiády v dokumentu Aproximace ve fyzikálních úlohách.

Volitelný obsah 2.1 (Lineární aproximace v některých fyzikálních zákonech)

Úkol Úkol

2.2.2. Lineární aproximace v některých fyzikálních zákonech#

Příklad (gravitační potenciál v malých výškách nad zemí). Gravitační potenciál ${\displaystyle V}$ ve vzdálenosti ${\displaystyle r}$ od středu koule o hmotnosti ${\displaystyle M}$ je dán vztahem

$$V(r)=-G\frac{M}{r}=-GM{r}^{-1},$$

kde ${\displaystyle G}$ je gravitační konstanta. Najdeme lineární aproximaci v bodě ${\displaystyle R}$.

Dosazením obdržíme

$$V(R)=-GM{R}^{-1}$$

a derivováním

$$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}=GM{r}^{-2},\frac{\mathrm{d}V(R)}{\mathrm{d}r}=GM{R}^{-2}.$$

Odsud poté získáme lineární aproximaci

$$V(r)\approx -GM{R}^{-1}+GM{R}^{-2}(r-R)$$

Pro Zemi jako kouli o poloměru ${\displaystyle R}$ je ${\displaystyle r-R}$ výška nad Zemí ${\displaystyle h}$ a aproximaci je možno po přeznačení napsat ve tvaru

$$V(r)\approx V_0+gh.$$

V tomto označení je ${\displaystyle V_0=-GM{R}^{-1}}$ konstanta související s volbou nulové hladiny potenciálu a vzhledem k libovolnosti volby nulové hladiny je tato hodnota nepodstatná. Veličina ${\displaystyle g=GM{R}^{-2}}$ je tíhové zrychlení vyjádřené pomocí gravitační konstanty ${\displaystyle G}$ a parametrů Země. Veličina ${\displaystyle gh}$ je potenciál v tíhovém poli Země. Tuto veličinu známe lépe ze vzorce pro potenciální energii tělesa o hmotnosti ${\displaystyle m}$, který má tvar

$$E=mgh.$$

Online výpočet tíhového zrychlení

Příklad (potenciální a kinetická energie). V předchozím příkladě je možné využít vztah

$$(1\pm x{)}^n\approx 1\pm nx,\text{pro malé }x.$$

Přepsáním gravitačního potenciálu ${\displaystyle V}$ do tvaru obsahujícího výšku nad zemí ${\displaystyle h}$ a využitím lineární aproximace získáme

$$V=-G\frac{M}{R+h}=-G\frac{M}{R}{(1+\frac{h}{R})}^{-1}\approx -G\frac{M}{R}(1+(-1)\frac{h}{R})=-G\frac{M}{R}+G\frac{M}{R^2}h$$

a po zavedení nových konstant

$$V\approx V_0+gh,$$

kde ${\displaystyle g=G\frac{M}{R^2}}$.

Podobně aproximací přesných vztahů plynoucích z Einsteinovy teorie relativity získáme složku energie související s pohybem, tj. kinetickou energii

$$E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0{c}^2{(1-\frac{v^2}{c^2})}^{-1/2}\approx m_0{c}^2(1+(-\frac{1}{2})(-\frac{v^2}{c^2}))=m_0{c}^2+\frac{1}{2}{m}_0{v}^2$$

pro ${\displaystyle v}$ mnohem menší než ${\displaystyle c}$. Snadno rozšifrujeme, že s rychlostí souvisí jenom druhý sčítanec a že se jedná o klasický vzorec pro kinetickou energii ${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2}$.

Ač se jedná „jenom“ o lineární aproximaci, je vzorec ${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2}$ dokonce mnohem použitelnější, protože výpočet kinetické energie pomocí univerzálně platného relativistického vzorce při malých rychlostech v praxi obvykle zhavaruje na zaokrouhlovacích chybách.

2.3. Lineární aproximace a jednorozměrné materiálové vztahy#

V inženýrské praxi často potřebujeme modelovat odezvu materiálu reagujícího na vnější podnět. Může se jednat například o změnu délky při mechanickém namáhání, tok tepla materiálem při tepelném namáhání, tok tekutiny porézním materiálem (dřevo, půda) při difuzi nebo rozdílu tlaků a podobně.

Pokusíme se modelovat funkci dávající do souvislosti velikost podnětu a reakci materiálu.

• Je přirozené, že při nulovém podnětu není žádná odezva a proto funkce prochází počátkem.

• S velikostí podnětu odezva na tento podnět roste a proto funkce v okolí počátku má kladnou derivaci a roste.

• Z lineární aproximace vidíme, že pro ${\displaystyle x_0=0}$ a ${\displaystyle f(0)=0}$ se vzorec pro lineární aproximaci redukuje na

  $$f(x)\approx f^{\prime }(0)x,$$
  tj. na přímou úměrnost.

• Ukazuje se, že v řadě praktických úloh je uvedená aproximace dobrá na dostatečně dlouhém intervalu a podle typu úlohy má tato aproximace povahu fyzikálního zákona a svůj vlastní název. Nejčastěji se setkáme se s Hookovým zákonem pro deformaci materiálu (relativní prodloužení je úměrné normálovému napětí), Darcyho zákonem pro tok tekutiny půdou (filtrační rychlost je úměrná záporně vzatému hydraulickému gradientu), Fickovým zákonem pro difuzi (hustota difuzniho toku je úměrná záporně vzatému gradientu koncentrace) a Fourierovým zákonem pro vedení tepla v materiálu (hustota tepelného toku je úměrná záporně vzatému gradientu teploty). Později, v přednášce o zákonech zachování ve vektorovém poli ke konci semestru, si tyto závislosti naformulujeme ve vícerozměrném prostředí a hlavně ve tvaru, který umožní zohlednit práci s neizotropními materiály (různé fyzikální vlastnosti v různých směrech).

• Matematicky je tedy povaha přímé úměrnosti v materiálových vztazích zřejmá a experimentálně je možné ověřit, pro jaké oblasti platí. Toto nám však mnohdy nestačí a snažíme se tyto vztahy ještě odvodit ze základních fyzikálních vztahů a z představy jak daný proces funguje. To otevírá možnosti potvrdit si, že naše představa o chování materiálu je správná.

• V některých velmi speciálních případech dokonce umíme určit materiálovou charakteristiku výpočtem namísto měření. Pro praktické využití tato dovednost není významná (můžeme vypočítat například koeficient filtrace pro půdu složenou z částic ve tvaru stejně velkých kuliček, v praxi se však s takovým materiálem setkáme nanejvýš při speciálních aplikacích v laboratoři), ale dává nám to důležitý prostor pro ověření fyzikálních hypotéz a matematických postupů.

2.4. Derivace a tečna#

Lineární aproximace funkce je vlastně aproximace tečnou. Protože pojem tečna ze střední školy chápeme jenom intuitivně, můžeme nyní pomocí derivace tečnu dokonce definovat. Z geometrického pohledu je tečna přímka bodem ${\displaystyle [x_0,f(x_0)]}$, která má směrnici ${\displaystyle f^{\prime }(x_0)}$. Proto se o derivaci často mluví jako o směrnici tečny.

Díky souvislosti derivace s tečnou je derivace jedinečným nástrojem při popisu vlastností křivek. Příslušná oblast se nazývá diferenciální geometrie a je to jakási oblast mezi geometrií a diferenciálním počtem.

2.5. Aproximace vyššího řádu#

2.5.1. Motivace: Je možné chtít více než je lineární aproximace?#

Lineární aproximace vychází z předpokladu, že rychlost růstu (nebo poklesu) se příliš nemění. Někdy můžeme mít dodatečnou informaci o tom, jak se tato rychlost změní. Například pokud se bude rychlost zpomalovat, bude skutečná hodnota funkce menší než lineární aproximace.

Je otázka, zda a jak je možné informaci o tom, jak rychle roste rychlost, případně jak rychle roste rychlost růstu rychlosti, využít. To znamená že budeme studovat derivaci derivace, derivaci derivace derivace atd.

Aproximaci funkce ${\displaystyle \cos x\approx 1}$ zmíněnou výše (odvodíme ve cvičení), kdy aproximujeme vlastně konstantní funkcí, je možné také chápat jako selhání lineární aproximace. Následující slidy a pojem Taylorův polynom nám umožní najít prostředek pro aproximaci i v těchto případech.

2.5.3. Druhá derivace a deformace nosníků#

Derivace hrají ústřední roli v teorii studující tuhost, deformaci a odolnost proti selhání u nosníků. Máme-li nosník podepřený na koncích a zatížený silou kolmo na podélnou osu nosníku (například vodorovný nosník se svislým zatížením) a je-li ${\displaystyle v(x)}$ výchylka od rovnovážného stavu v bodě ${\displaystyle x}$, potom derivace ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}$ vyjadřuje úhel pootočení svislého průřezu nosníku vlivem deformace a druhá derivace ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2}}$ při malých deformacích vyjadřuje křivost nosníku. Z fyzikálních úvah a ze vztahu mezi křivostí a momentem ${\displaystyle M(x)}$ síly, která nosník deformuje, je možné odvodit rovnici

$$M(x)=EI\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2},$$

kde konstanta ${\displaystyle E}$ souvisí s materiálem (Youngův modul pružnosti) a ${\displaystyle I}$ s průřezem nosníku (kvadratický moment průřezu). Podobně, pro nosník namáhaný v ose (například svislá vzpěra) silou ${\displaystyle F}$ platí vztah

$$EI\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2}+Fv=0.$$

Aplikace jsou, jak bylo uvedeno, při dimenzování nosníků (angl. beam buclinkg). Odvození výše uvedených rovnic není komplikované, ale vyžaduje dodatečné fyzikální znalosti a proto zde neuvádíme.

Někdy je vhodné mít moment ${\displaystyle M(x)}$ síly deformující nosník mít vyjádřený pomocí zatížení nosníku. To souvisí s druhou derivací momentu a proto je nutno rovnici ještě dvakrát derivovat. Proto se ohybová rovnice nosníku někdy uvádí jako vztah obsahující dokonce čtvrtou derivaci.

2.6. Konečné diference a numerická aproximace derivace#

Pro numerické řešení rovnic obsahujících derivace je vhodné umět nahradit derivace veličinami, se kterými se lépe pracuje v numerických výpočtech.

Základním přístupem je vynechání limitního přechodu v definici derivace

Lepší aproximace derivace vychází z Taylorova polynomu druhého řádu napsaného pro ${\displaystyle f(x+h)}$ a ${\displaystyle f(x-h)}$, tj. ze vztahů

• Pokud tyto vztahy odečteme, dostaneme

  $$f(x+h)-f(x-h)\approx 2f^{\prime }(x)h.$$
  a odsud dostáváme aproximaci první derivace pomocí centrální diference ve tvaru
  $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.$$
  Protože používáme aproximaci kvadratickým polynomem, je aproximace derivace pomocí centrální diference přesnější než aproximace pomocí dopředné diference.

• Pokud tyto vztahy sečteme, dostaneme

  $$f(x+h)+f(x-h)\approx 2f(x)+f^{″}(x)h^2$$
  a odsud dostáváme aproximaci druhé derivace
  $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2}=f^{″}(x)\approx \frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}.$$

2.7. Odbočka: od vazeb mezi atomy k materiálovým vlastnostem#

Výraz

Lineární člen chybí a kvadratický člen je analogický potenciální energii pružiny o tuhosti ${\displaystyle k}$ ve tvaru

• Pokud aproximujeme potenciál pomocí Taylorova polynomu, z koeficientu u kvadratického člene můžeme určit frekvenci oscilací.

• Dále můžeme tímto způsobem určit pevnost vazby a tím pro daný materiál určit Youngův modul pružnosti, tj. konstantu úměrnosti mezi deformací materiálu a tahovým nebo tlakovým napětí v materiálu.

• Poloha rovnovážné polohy, resp. její závislost na teplotě (pokud bychom do matematického modelu dodali skutečné parametry i s jejich teplotní závislostí) zase definuje koeficient teplotní roztažnosti materiálu.

Takovým způsobem můžeme u materiálu se známou strukturou odhadnout fyzikální vlastnosti výpočtem. To je důležité, protože teoretické předpovídání vlastností materiálu otevírá cestu k navrhování nových materiálů s výhodnějšími vlastnostmi. materiál můžeme prozkoumat ještě dříve, než jej vyrobíme a dostaneme na stůl.

Online výpočet a obrázek.

2.8. Řešení rovnic#

V praxi se setkáváme s případy, kdy je znám výsledek po aplikování funkce na vstupní data a je nutné rekonstruovat tato vstupní data. Řešíme tedy rovnici, kde neznámá je argumentem funkce a je známa funkční hodnota. Pojmy nutné pro korektní formulaci a jednu z velmi rychlých přibližných metod řešení rovnic si představíme v následujících pasážích.

Nejprve se budeme zabývat tím, jestli se k funkční hodnotě dají vstupní data rekonstruovat jednoznačně (prostá funkce). Pokud ano, představíme si pravidlo, které toto přiřazení vstupních dat k výsledku po aplikaci funkce dokáže realizovat (inverzní funkce). A na závěr si ukážeme metodu, jak při řešení rovnic (resp. počítat funkční hodnoty inverzních funkcí) využít derivaci. To vede k velmi rychlé a velmi obecné metodě numerického řešení (Newtonova metoda).

0.7503638678402438930349423066821768532469930658553590309665831
0.7391128909113616703605852909048902340028928367356569073234079
0.7390851333852839697601251208568043328895331231701889796312306
0.7390851332151606416617026256850263723252232625296426915134025
0.7390851332151606416553120876738734040134207763670352584051590
0.7390851332151606416553120876738734040134117589007574649656806
0.7390851332151606416553120876738734040134117589007574649656806

0 0.857142857142857
1 0.922889272327007
2 0.896366455780602
3 0.907775917517455
4 0.902989981267125
5 0.905019667139163
6 0.904162819564782
7 0.904525248412642
8 0.904372074163256
9 0.904436833065177

0 0.909090909090909
1 0.904428379310109
2 0.904417592410086
3 0.904417592352745
4 0.904417592352745

2.9. Shrnutí, hlavní myšlenky#

• Derivace udává trend ve změnách veličin a díky tomu umožňuje za určitých okolností nahrazovat komplikované funkční vztahy pomocí vztahů lineárních. Toto nazýváme lineární aproximace a je to jedna za zásadních metod, jak si inženýři zjednodušují úlohy, které by byly jinak neřešitelné.

• Derivace dokáže detekovat růst a klesání funkce a díky tomu dokážeme také detekovat body, kde se růst zastaví a změní na klesání nebo naopak. Tyto body nás přirozeně zajímají, protože v těchto bodech je studovaná veličina maximální nebo minimální a to má dopad při minimalizaci nákladů, maximalizaci pevnosti či zisku a jiných úlohách z praktického života.

• Pokud trend (rychlost změny, derivace) nestačí k podchycení zásadních vlastností veličiny (nastává v lokálním extrému nebo v případě, že potřebujeme lepší aproximaci, než je aproximace lineární), máme k dispozici nástroje i v tomto případě: derivace vyšších řádů a Taylorův polynom.