Aplikovaná matematika#
Zde najdete učební texty k předmětu Aplikovaná matematika vyučovaného na LDF MENDELU v Brně.
Díky parciálním derivacím (přednáška 1) se naučíme se sledovat reakci sledované veličiny na změny ve vstupních datech. Například jak se mění teplota v daném místě stěny s časem, nebo jak se mění teplota ve stejném časovém okamžiku napříč stěnou.
Díky gradientu (přednáška 2) se naučíme sledovat změny ve vícerozměrných prostorech. To se například uplatní například pokud sledujeme chování teploty ve stěně, ale vlivem efektů u krajů stěn nestačí úlohu uvažovat jednorozměrně, skrz stěnu.
Také se naučíme gradient přepočítávat na tok a později (přednáška 3) tuto znalost dále rozvineme. Naučíme se pomocí pojmu divergence sledovat změny toku a díky tomu budeme moci sestavit jakousi bilanci, která vede k jednotné teorii pro formulaci teplotního pole v materiálu, vlhkostního pole v materiálu a dalších.
Poté se seznámíme (přednáška 4) s pojmem rotace vektorového pole, který nás informuje o možnosti zavést v libovolném vektorovém poli obdobu potenciální energie a s křivkovým integrálem (přednáška 5), který tuto veličinu umí najít pomocí výpočtu práce po křivce.
Tím se dostaneme do světa zobecňování integrálu a po křivkovém integrálu se naučíme (přednáška 6) integrovat ve dvourozměrné oblasti pomocí dvojného integrálu. To se hodí například k nalezení celkové energie v tělese, kde je teplota rozložena nerovnoměrně.
Vybaveni dvojným a křivkovým integrálem se naučíme použitím Greenovy věty (přednáška 7) realizovat přechod mezi lokálními a globálními tvary fyzikálních zákonů a tím modelovat vedení tepla nebo vlhkosti nejenom pro dané místo materiálu, ale pro konečně velký objem, tj. v měřitelných pojmech.
Protože fyzikální zákony jsou přirozeně formulovány pomocí derivací, v praktických aplikacích se setkáváme s rovnicemi, kde neznámé jsou funkce a rovnicích figurují i derivace těchto neznámých hledaných funkcí. Jedná se o diferenciální rovnice a budeme se jim věnovat v několika přednáškách. Nejprve ty opravdu nejednodušší, které poslouží k řešení speciálních případů rovnice vedení tepla, ale i k modelování jevů, kde se veličiny mění rychlostí související s hodnotami těchto veličin (přednáška 8). Například chladnutí kávy, které probíhá tím intenzivněji, čím je teplotní rozdíl kávy a okolí větší.
Poté si ukážeme (přednáška 9), že mnoho rovnic má předem danou strukturu řešení. Je to něco jako skutečnost, že pro zadání přímky mi stačí bod a směr, pro zadání roviny bod a dva směry. Stačí tyto charakteristiky a máme všechny body přímky, roviny, nebo všechny funkce, které vyhovují lineární rovnici.
To využijeme (přednáška 10) pro popis chování řešení některých soustav diferenciálních rovnic, které modelují úlohy z mechaniky, ale i ekologie či dnes populární teorie epidemií.
Některé modely je vhodné vyjadřovat pomocí rovnic obsahujících derivace druhého řádu (přednáška 11), což bude problematika využitelná například v mechanice, při studiu kmitů nebo selhávání nosníků.