6.6.1. Výpočet (oblast mezi funkcemi proměnné ${\displaystyle x}$)#

V závislosti na tom, jakými nerovnostmi množinu ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ definujeme, můžeme pro výpočet dvojného integrálu použít následující věty. Tyto věty udávají, jak je možno dvojný integrál přepsat jako dvojnásobný integrál. Mají název Fubiniovy věty.

6.6.2. Výpočet (oblast mezi funkcemi proměnné ${\displaystyle y}$)#

6.6.3. Záměna pořadí integrace#

Často je možné oblast integrace zapsat pomocí obou možností uvedených na předchozích slidech. Například oblast na obrázku je možno zapsat buď jako

Pro integrál funkce ${\displaystyle f(x,y)}$ přes takovou množinu tedy máme dvě alternativy. Buď

Všimněte si, že nestačí prosté prohození integrálů. Je nutno přepočítávat meze a hraniční křivky je nutno vyjádřit jednou jako funkce proměnné ${\displaystyle x}$ a jednou jako funkce proměnné ${\displaystyle y}$. V důsledku tohoto dochází v průběhu výpočtu dvěma různými způsoby k tomu, že pracujeme se dvěma různými integrály. Výsledky jsou samozřejmě stejné, ale nemusí být dosažitelné srovnatelnou námahou. Jedna z cest může být snazší.

6.8.1. Matematické aplikace dvojného integrálu#

• Obsah ${\displaystyle \mu (\mathrm{\Omega })}$ množiny ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ vypočteme jako integrál

  $$\mu (\mathrm{\Omega })={\iint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

• Integrální střední hodnota funkce ${\displaystyle f(x,y)}$ definované na množině ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ je

  $$\frac{{\iint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\mu (\mathrm{\Omega })},$$
  kde ${\displaystyle \mu (\mathrm{\Omega })={\iint }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ je obsah množiny ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$.

6.8.2. Objem kopce nebo jezera pomocí vrstevnic#

• Obsah množiny ohraničené vrstevnicí na mapě vynásobený rozestupem mezi vrstevnicemi je přibližně roven objemu vrstvy mezi dvěma vrstevnicemi.

• Pokud sečteme obsahy všech vrstevnic a vynásobíme rozestupem mezi těmito vrstevnicemi, dostaneme odhad pro objem kopce. Vlastně je to jako bychom kopec rozřezali na stejně tlusté plátky, naskládali je vedle sebe, sečetli obsahy postav takto vzniklých těles a vynásobili výškou.

• Podobně je možné odhadnout objem jezera.

• V tomto případě je dvojný integrál pouze koncept. Samozřejmě nemáme ambice vyjadřovat vrstevnice v analytickém tvaru a integrovat pomocí Fubiniovy věty. Ke slovu přijde spíše numerický výpočet integrálu.

6.8.3. Fyzikální aplikace dvojného integrálu#

• Hmotnost množiny ${\displaystyle M}$ je

  $$m={\iint }_M\sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$
  kde ${\displaystyle \sigma (x,y)}$ je plošná hustota (hmotnost vztažená na jednotku povrchu).

• Je-li plošná ${\displaystyle u}$ hustota kinetické energie molekul (což je veličina úměrná termodynamické teplotě), je ${\displaystyle {\iint }_{M}u\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ celková kinetická energie částic. Tato energie se může měnit tepelnou výměnou. Rychlost, s jakou se mění část vnitřní energie související s teplotou, je

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left({\iint }_{M}u\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)$$
  a odsud odvozujeme rovnici vedení tepla.

• Lineární momenty hmotné množiny ${\displaystyle M}$ vzhledem k osám ${\displaystyle y}$ a ${\displaystyle x}$ jsou rovny

  $${\iint }_{M}x\sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
  a
  $${\iint }_{M}y\sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

• Moment setrvačnosti hmotné množiny ${\displaystyle M}$ vzhledem k ose je

  $$J={\iint }_M{\rho }^2(x,y)\sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$
  kde ${\displaystyle \rho (x,y)}$ je vzdálenost bodu ${\displaystyle (x,y)}$ od osy otáčení. Například pro osu ${\displaystyle x}$ je ${\displaystyle \rho (x,y)=y}$ a pro osu ${\displaystyle y}$ je ${\displaystyle \rho (x,y)=x}$. Pro osu procházející kolmo počátkem je ${\displaystyle \rho (x,y)=\sqrt{x^2+y^2}}$.

6.8.4. Technické aplikace dvojného integrálu#

• Souřadnice těžiště množiny jsou podílem lineárních momentů a celkové hmotnosti množiny.

• Kvadratický moment průřezu (což je moment setrvačnosti pro ${\displaystyle \sigma (x,y)=1}$, anglicky second moment of area) je veličina, která hraje podstatnou roli v mechanice (nábytek, stavby) při dimenzování (polic, nosných tyčí, nosníků).

• V technické praxi zpravidla neuvažujeme nekonstantní plošnou hustotu. Potom je možné je bez újmy na obecnosti nahradit jedničkou. Vzorce pro obsah, ${\displaystyle x}$-ovou souřadnici těžiště (${\displaystyle x_0}$), ${\displaystyle y}$-ovou souřadnici těžiště (${\displaystyle y_0}$), kvadratický moment vzhledem k ose ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle I_x}$) a kvadratický moment vzhledem k ose ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle I_y}$) (pro množinu ${\displaystyle M}$ s plošnou hustotou ${\displaystyle 1}$) jsou

  $$\begin{array}{r}\begin{array}{rlrl}{x}_0& =\frac{1}{S}{\iint }_{M}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y,& I_x& ={\iint }_M{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\\ y_0& =\frac{1}{S}{\iint }_{M}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y,& I_y& ={\iint }_M{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\end{array}\end{array}$$
  kde ${\displaystyle S=\mu (M)}$ je obsah množiny ${\displaystyle M}$. Poloha těžiště je tedy střední hodnotou funkcí ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$.

6.8.5. Tuhost nosníků, stabilita stromů#

Tuhost (odolnost vůči deformaci) pro nosník obdélníkového průřezu o výšce ${\displaystyle b}$ a šířce ${\displaystyle a}$ je dána kvadratickým momentem obdélníkového průřezu vzhledem k vodorovné ose procházející těžištěm.

• Pokud šířka vzroste dvakrát, tuhost vzroste také dvakrát. Pokud ale dvakrát vzroste výška, tuhost vzroste dokonce osmkrát. Pro nosník s poměrem stran 1:2 je poměr tuhostí při poloze naplacato a nastojato roven 1:4.

• Pro nosník čtvercového průřezu (${\displaystyle a=b}$) roste tuhost se čtvrtou mocninou rozměrů. Obsah (a tedy i hmotnost) roste s druhou mocninou. Uvažujme tři nosníky. První má čtvercový průřez. Druhý také, ale průřez má dvojnásobný obsah. (Strana je tedy ${\displaystyle \sqrt{2}}$-krát delší.) Třetí nosník bude krabicový nosník. Bude mít vnější rozměry stejné jako větší nosník, ale uvnitř bude čtvercová dutina o rozměrech prvního nosníku. Tuhost prvního nosníku bude referenční, označme ji ${\displaystyle I}$. Tuhost druhého nosníku bude čtyřnásobná, tj. ${\displaystyle 4I}$ a za toto navýšení tuhosti „platíme“ použitím dvojnásobného množství materiálu. Tuhost třetího nosníku najdeme jako rozdíl prvních dvou, tj. ${\displaystyle 3I}$, protože i geometricky největší nosník vznikne zasunutím prvního nosníku do dutiny ve třetím krabicovém nosníku. Nyní porovnjeme původní nosník a krabicový nosník. Oba používají stejné množství materiálu, ale tuhost krabicového nosníku je trojnásobná. To proto, že část materiálu je dál od osy symetrie průřezu. Podobně se dá zdůvodnit a výpočtem ukázat, že profil ve tvaru písmene I, známé íčko, je tužší než tyč vykovaná ze stejného množství materiálu.

• Pro čtvercový průřez roste tuhost se čtvrtou mocninou délky strany. Podobná závislost musí být u každého průřezu jednoparametrického tvaru, například pro kruh. Jako na nosník s kruhovým průřezem můžeme pohlížet i na stromy. Například strom, ve kterém je dutina o velikosti poloviny průměru kmene většinou vyvolá obavy ze stability. I když taková dutina vypadá obrovská, tuhost se sníží o původní tuhost vynásobenou koeficientem

  $$(0.5{)}^4=0.0625\approx 6\mathrm{\%}.$$
  Vidíme, že i s hrozivě vypadající dutinou má kmen pořád tuhost ${\displaystyle 94\mathrm{\%}}$ původní tuhosti (za předpokladu dutiny uprostřed kmene). Pevnost roste jenom s třetí mocninou a proto odolnost vůči zlomení neklesne tak dramaticky jako tuhost.

6.8.6. Těžiště složeného obrazce#

Uvažujme množinu ${\displaystyle M}$ s jednotkovou plošnou hustotou, rozdělenou na dvě disjunktní části ${\displaystyle M_1}$ a ${\displaystyle M_2}$. Tyto množiny mají ${\displaystyle x}$-ovou polohu těžiště v bodě

Zobecnění výše uvedených myšlenek na množinu rozdělenou na více částí je již snadné.

6.8.7. Steinerova věta#

Nechť je dána množina ${\displaystyle M}$ s plošnou hustotou ${\displaystyle \sigma (x,y)}$. Ukážeme, že vzhledem k ose procházející těžištěm je nejmenší moment setrvačnosti. Nechť ${\displaystyle m=\iint \sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$, ${\displaystyle y_0=\frac{1}{m}{\iint }_{M}y\sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ a ${\displaystyle I_{xT}={\iint }_M(y-y_0{)}^2\sigma (x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ jsou hmotnost, ${\displaystyle y}$-ová poloha těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm rovnoběžně s osou ${\displaystyle x}$. Moment setrvačnosti vhledem k ose ${\displaystyle x}$ je

6.8.8. Tlak na svislou plochu#

Vzorec pro tlakovou sílu ${\displaystyle F=pS}$ není možné použít například pro výpočet celkové síly působící na svislou hráz, protože tlak ${\displaystyle p}$ se mění s hloubkou a není tedy konstantní na celém průřezu o obsahu ${\displaystyle S}$. Ukážeme, jak tuto nesnáz překonat.

Uvažujme svislou rovinnou hráz ${\displaystyle M}$. Hrází je přitom myšlena rovinná množina s jednotkovou plošnou hustotou, ne postavený trojrozměrný objekt. Počátek kartézské soustavy souřadnic volíme u hladiny, osa ${\displaystyle y}$ směřuje dolů, osa ${\displaystyle x}$ vodorovně. Tlak v hloubce ${\displaystyle y}$ je roven ${\displaystyle p=y\rho g}$, kde ${\displaystyle \rho }$ je hustota vody a ${\displaystyle g}$ tíhové zrychlení. Na plochu o rozměrech ${\displaystyle \mathrm{\Delta }S}$ v hloubce ${\displaystyle y}$ působí tlaková síla

kde ${\displaystyle p_0=\rho g{y}_0}$ je tlak v těžišti. Proto v praxi stačí znát těžiště hráze a pro výpočet síly na hráz použít celkovou plochu hráze a tlak v těžišti. Protože jsme pracovali s obecnou množinou ${\displaystyle M}$, není tento poznatek nijak vázán na konkrétní tvar hráze. Musí být však splněna podmínka, že všechny body hráze leží v jedné rovině.

Ve výpočtu výše jsme uvažovali svislou rovinu, ale zobecnění na šikmou rovinu je snadné. Stačí opravit vztah pro hloubku, protože když svislou množinu i s kartézskými souřadnicemi pootočíme okolo osy procházející hladinou, hloubka všech bodů se sníží faktorem ${\displaystyle \sin \alpha }$, kde ${\displaystyle \alpha }$ je úhel mezi vodorovnou hladinou a rovinou hráze. Formálně tato operace dopadne stejně, jako kdybychom tekutinu nahradili tekutinou s hustotou ${\displaystyle \sin \alpha }$-krát nižší. Protože však vztah (6.1) nezávisí na hustotě, nic se na něm nezmění. Také zobecnění na několik rovin je snadné. Zobecnění na zakřivenou plochu je náročnější a vyžaduje jiný typ integrálu.

V předchozím textu jsme proměnnou veličinu popisující tlak na hráz jako funkci hloubky nahradili konstantní veličinou, udávající tlak v těžišti. Výsledný účinek na hráz se nezměnil. To je přesně smysl střední hodnoty. V matematických pojmech je možno říci, že střední hodnota tlaku na svislou hráz je rovna tlaku v těžišti hráze. (Protože hrází myslíme spíše rovinnou plochu, tak by přesnější terminologie měla používat raději pojem geometrický střed. Budeme se však držet ustálené terminologie.)

Nikde ve výpočtu jsme nepoužili konkrétní meze pro integraci. Výsledek tedy platí nejenom pro hráz dosahující k hladině, ale například i pro poklop výpusti, který je celý pod vodou.

6.8.9. Působiště tlakové síly#

Budeme pokračovat v předchozím příkladě a hledat působiště výsledné tlakové síly.

Tlaková síla působící na svislou hráz má celkový nulový moment vzhledem k ose procházející působištěm. Je-li hráz definována množinou ${\displaystyle M}$ a je-li ${\displaystyle y_c}$ působiště výsledné tlakové síly, je v hloubce ${\displaystyle y}$ tlak na plošku o velikosti ${\displaystyle \mathrm{\Delta }S}$ roven ${\displaystyle y\rho g\mathrm{\Delta }S}$ a součin ${\displaystyle (y_c-y)y\rho g\mathrm{\Delta }S}$ je příspěvek k otáčivému momentu vzhledem k ose, procházející vodorovně působištěm tlakové síly. Součet všech těchto příspěvků se nuluje, tedy musí platit

Formálně vztah pro ${\displaystyle y_c}$ odpovídá vztahu pro těžiště množiny s plošnou hustotou ${\displaystyle y}$. Na tomto pozorování a na skutečnosti, že u pravidelných množin umíme těžiště najít geometricky, je založena metoda nalezení působiště tlakové síly pomocí zatěžovacího obrazce.

Kvadratický moment v čitateli zlomku ${\displaystyle \text{(H2)}}$ vyjadřujícího ${\displaystyle y_c}$ je často výhodnější rozepsat pomocí Steinerovy věty. Ve jmenovateli je součin obsahu ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle y}$-ové souřadnice těžiště ${\displaystyle y_0}$. Tím dostaneme

6.9.1. Polární souřadnice#

Dosud jsme používali pouze kartézské souřadnice: dvojici čísel udávající vzdálenost bodu od osy ${\displaystyle y}$ a od osy ${\displaystyle x}$, která jednoznačně určuje polohu bodu v rovině. V praxi je někdy výhodnější použít i jiný způsob jak pomocí dvojice čísel charakterizovat polohu bodu v rovině - takové souřadnice potom nazýváme křivočaré souřadnice.

Z křivočarých souřadnic jsou nejdůležitější polární souřadnice. Při jejich použití polohu bodu ${\displaystyle A}$ zadáváme tak, že určíme vzdálenost ${\displaystyle r}$ bodu od počátku soustavy souřadnic ${\displaystyle O}$ a úhel ${\displaystyle \phi }$, který svírá spojnice bodů ${\displaystyle O}$ a ${\displaystyle A}$ s kladnou částí osy ${\displaystyle x}$.

6.9.2. Množiny s jednoduchým vyjádřením v polárních souřadnicích#

Nejsnáze se při výpočtu dvojného integrálu pracuje s obdélníkovými množinami, tj. s množinami charakterizovanými nerovnostmi pro jednotlivé proměnné a konstantním omezením pro tyto proměnné. Analogicky se bude snadno pracovat v polárních souřadnicích s množinami, které by se staly obdélníky pro překreslení do souřadné soustavy ${\displaystyle r}$ a ${\displaystyle \phi }$. Takové množiny jsou zobrazeny na následujících obrázcích.

6.9.3. Převod dvojného integrálu do polárních souřadnic#

Chceme-li převést dvojný integrál do polárních souřadnic, provádíme v něm vlastně substituci ${\displaystyle x=r\cos \phi }$ a ${\displaystyle y=r\sin \phi }$. Přitom se transformují i diferenciály ${\displaystyle \mathrm{d}x}$ a ${\displaystyle \mathrm{d}y}$. Při změně úhlu o ${\displaystyle \mathrm{d}\phi }$ a změně vzdálenosti o ${\displaystyle \mathrm{d}r}$ má odpovídající část roviny rozměry ${\displaystyle \mathrm{d}r}$ a ${\displaystyle r\mathrm{d}\phi }$ a její obsah je ${\displaystyle r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}r}$ (viz obrázek). Platí tedy, že obsah elementární oblasti ${\displaystyle \mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ se transformuje na ${\displaystyle \mathrm{d}A=r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}r}$. Podíl ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\phi \mathrm{d}r}{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}}$ udává, kolikrát se změní obsah elementární oblasti při změně souřadnic a nazývá se jakobián. V případě polárních souřadnic je jakobián jak vidíme roven ${\displaystyle r}$ a platí tedy

V diferenciálním počtu polární souřadnice používáme především tam, kde má problém radiální symetrii. Například při studiu ochlazování nebo kmitů kruhových desek či válcovitých součástek. V integrálním počtu tyto souřadnice použijeme zejména v případě, kdy integrujeme přes kružnici nebo její část (např. mezikruží či kruhová výseč). V takovém případě mají totiž integrály které vzniknou po transformaci dvojného integrálu na dvojnásobný pevné meze a výpočet druhého integrálu je zpravidla jednodušší.