13. Metody řešení diferenciálních rovnic 2

13.1. Vlnová rovnice

Vlnová rovnice je rovnice popisující kmity strun (v jednorozměrném případě), membrán (ve dvourozměrném případě) nebo těles (v trojrozměrném případě). Odvodíme rovnici kmitání strun.

Obr. 13.1 K odvození pohybové rovnice struny.

Na kmitající struně uvažujme v bodě \(\displaystyle x\) element o délce \(\displaystyle \Delta x\). Výchylku z rovnovážného stavu označme \(\displaystyle u\). Dále označme \(\displaystyle \vec {\mathcal T}\) sílu, která v tomto bodě napíná strunu, vnitřní napětí ve struně. Tento vektor má podél struny konstantní velikost a směr se mění podle zakřivení struny. Označíme-li \(\displaystyle \varphi\) úhel mezi vektorem \(\displaystyle \vec {\mathcal T}\) a vodorovným směrem, je

\[ \tan \varphi=\frac {\partial u}{\partial x} \]

(derivace je směrnice tečny). Na levý konec působí síla \(\displaystyle \vec {\mathcal T}_1\), kterou pro další počítání rozložíme do vodorovného a svislého směru. Doleva působí síla o velikosti \(\displaystyle \mathcal T\cos\varphi\) a dolů síla \(\displaystyle \mathcal T\sin\varphi\). Podobně, na pravý konec, kde je směrnice tečny \(\displaystyle \varphi+\Delta\varphi\) působí doprava síla \(\displaystyle \mathcal{T}\cos(\varphi+\Delta\varphi)\) a nahoru síla \(\displaystyle \mathcal T\sin(\varphi+\Delta\varphi)\). Protože se element pohybuje ve svislém směru, podle Newtonova pohybového zákona platí

\[ m\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=\mathcal T\sin(\varphi+\Delta\varphi)-\mathcal T\sin\varphi, \]

kde \(\displaystyle m\) je hmotnost uvažovaného elementu.

Je-li lineární specifická hmotnost struny \(\displaystyle \rho\) a délka elementu v rovnovážné poloze (bez deformace) je přibližně \(\displaystyle \Delta x\), je možno vyjádřit hmotnost jako \(\displaystyle m=\rho\Delta x\) a dostáváme po úpravě vztah

\[\begin{equation*} \frac {\rho}{\mathcal T}\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac{\sin(\varphi+\Delta\varphi)-\sin\varphi}{\Delta x}. \end{equation*}\]

Pokud pravou stranu přepíšeme do tvaru

\[\begin{equation*} % \frac{\sin(\varphi+\Delta\varphi)-\sin\varphi}{\Delta x}= \frac{\sin(\varphi+\Delta\varphi)-\sin\varphi}{\Delta \varphi}\frac{\Delta \varphi}{\Delta x} \end{equation*}\]

a v limitě stáhneme velikost uvažovaného elementu k nule, dostáváme napravo výraz známý z definice derivace

\[ \frac{\partial \sin(\varphi)}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x}\quad\text{ tj.}\quad \cos(\varphi)\frac{\partial \varphi}{\partial x}. \]

Potřebujeme nyní vyjádřit výraz \(\displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x}\). Ze vztahu \(\displaystyle \tan \varphi=\frac {\partial u}{\partial x}\) derivováním podle \(\displaystyle x\) dostáváme

\[\begin{equation*} \frac{1}{\cos^2 \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac {\partial^2 u}{\partial x^2} \end{equation*}\]

a za předpokladu malých výchylek nahradíme v předchozích dvou vzorcích funkci kosinus její lineární aproximací v okolí nuly vztahem

\[ \cos(\varphi)\approx \cos(0)+(\cos(\varphi))'\Bigr|_{\varphi=0}(\varphi -0)= 1+\sin(\varphi)\Bigr|_{\varphi=0}\varphi=1. \]

Tím se pravá strana rovnice zjednoduší na \(\displaystyle \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}\) a získáváme rovnici

\[\begin{equation*} \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac {\cal T}{\rho} \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}. \end{equation*}\]

Toto je rovnice popisující kmitavý pohyb struny. Ve vícerozměrném případě je situace obdobná, pouze na pravé straně dostaneme Laplaceův operátor a výsledná rovnice

\[ \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac {\cal T}{\rho}\nabla^2 u \]

se nazývá vlnová rovnice.

Po přeznačení je možno vlnovou rovnici zapsat ve tvaru

\[ \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2 u, \]

kde \(\displaystyle c\) je kladná konstanta.

Rovnice popisující podélné kmity kmity tyče modulu pružnosti \(\displaystyle E\) a hustotě \(\displaystyle \rho\) má stejný tvar, přičemž \(\displaystyle c=\sqrt{E}\rho\) je rychlost šíření kmitů. Trojrozměrná analogie této rovnice je vhodná pro popis elastických kmitů (chvění) v tělese.

13.2. Fourierova metoda (separace proměnných)

Jedna z nejjednodušších metod řešení parciálních diferenciálních rovnic spočívá v tom, že se řešení rovnic snažíme najít v nějakém konkrétním tvaru, který nám umožní rovnici redukovat na několik rovnic jednodušších. Je možné ji použít i pro rovnici vedení tepla, i pro vlnovou rovnici. Ukážeme ji na rovnici vedení tepla, protože obsahuje jednodušší závislost na čase - je zde derivace pouze prvního řádu.

Uvažujme šíření tepla v tyči jednotkové délky bez vnitřních zdrojů tepelné energie, popsané po případné transformaci jednotek diferenciální rovnicí

\[ \frac {\partial u}{\partial t}= \frac {\partial^2 u}{\partial x^2}. \]

Pro jednoznačný popis děje je nutno zadat počáteční teplotu \(\displaystyle \varphi(x)\) ve všech bodech tyče a podmínky, které udávají, v jakém prostředí se tyč nachází – například teplotu konců tyče. Máme tedy podmínky

\[ u(x,0)=\varphi(x),\quad u(0,t)=u_0(t),\quad u(1,t)=u_1(t). \]

Pro jednoduchost uvažujme homogenní okrajové podmínky \(\displaystyle u(0,t)=0=u(1,t)\). Řešení \(\displaystyle u\) budeme hledat ve tvaru funkce

\[ u(x,t)=X(x)T(t), \]

kde \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle T\) jsou funkce jedné proměnné. V tomto označení platí

\[\frac{\partial u}{\partial t}=X(x)T'(t) \quad\text{a}\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=X''(x)T(t) \]

a po dosazení do rovnice a po vydělení faktorem \(\displaystyle X(x)T(t)\) dostaneme

\[ \frac {T'(t)}{T(t)}=\frac {X''(x)}{X(x)}. \]

Protože levá strana závisí pouze na \(\displaystyle t\) a pravá strana pouze na \(\displaystyle x\), musí být obě strany rovny stejné konstantě. Tuto konstantu zapíšeme z důvodů které budou patrné později jako \(\displaystyle -\lambda^2\). Z počátečních a okrajových podmínek naložených na funkce \(\displaystyle u\) plyne, že funkce \(\displaystyle X\) musí splňovat

\[ X(0)=0=X(1). \]

Funkce \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle T\) tedy musí splňovat vztahy

\[\begin{equation*} T'=-\lambda^2 T, \quad X''+\lambda^2 X=0, \quad X(0)=0=X(1). \end{equation*} \]

Rovnice

\[\begin{equation*} T'=-\lambda^2 T \end{equation*}\]

je lineární a její obecné řešení je libovolný násobek funkce \(\displaystyle T(t)=e^{-\lambda^2 t}\). Úloha najít funkci vyhovující rovnici

\[\begin{equation*} X''+\lambda^2 X=0 \end{equation*}\]

a podmínce

\[\begin{equation*} X(0)=0=X(1) \end{equation*}\]

se nazývá okrajová úloha a věnovali jsme se jí v kapitole o diferenciálních rovnicích druhého řádu.

Netriviální řešení této úlohy existuje jen pro některé hodnoty parametru \(\displaystyle \lambda\). Hodnota \(\displaystyle \lambda^2\), pro kterou existuje netriviální řešení okrajové úlohy, se nazývá vlastní číslo a příslušné řešení se nazývá vlastní funkcí.

Z rozboru v kapitole věnované diferenciálním rovnicím druhého řádu víme, že obecné řešení rovnice \(\displaystyle X''+\lambda^2 X=0\) je tvaru

\[\begin{equation*} X(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x) \end{equation*}\]

kde \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle B\) jsou reálné konstanty. Z podmínky \(\displaystyle X(0)=0\) plyne, že \(\displaystyle A=0\). Z podmínky \(\displaystyle X(1)=0\) pak plyne, že \(\displaystyle B\sin(\lambda)=0\). Nechť \(\displaystyle B\neq 0\) (jinak by řešení bylo triviální). Platí tedy \(\displaystyle \sin(\lambda)=0\), neboli \(\displaystyle \lambda=k\pi\), kde \(\displaystyle k\) je přirozené číslo. Vlastní hodnoty jsou tedy tvaru

\[\begin{equation*} \lambda^2=k^2\pi^2 \end{equation*}\]

a uvažovaná okrajová úloha pro libovolné přirozené číslo \(\displaystyle k\) má řešení

\[\begin{equation*} X(x)=C\sin(k\pi x), \end{equation*}\]

kde \(\displaystyle C\) je reálná konstanta.

Protože řešení rovnice hledáme ve tvaru \(\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t)\), můžeme výsledky předchozích odstavců shrnout do poznatku, že pro libovolnou konstantu \(\displaystyle C_k\) a libovolné přirozené číslo \(\displaystyle k\) je funkce

\[\begin{equation*} C_k\sin(k\pi x)e^{-\lambda^2 t}. \end{equation*}\]

Protože rovnice je lineární, je řešením i libovolná lineární kombinace těchto funkcí. Použijeme-li všechny funkce tohoto tvaru, dostáváme řešení

\[\begin{equation*} u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty C_k\sin(k\pi x)e^{-\lambda^2 t}. \end{equation*}\]

Protože máme zadánu počáteční podmínku ve tvaru \(\displaystyle u(x,0)=\varphi(x)\), potřebujeme najít konstanty \(\displaystyle C_k\) takové, že platí

\[\begin{equation*} \sum_{k=1}^\infty C_k\sin(k\pi x)=\varphi(x). \end{equation*}\]

Tuto úlohu budeme řešit v následující podkapitole.

13.3. Fourierův rozvoj periodické funkce

Nekonečná řada goniometrických funkcí tvaru

\[\begin{equation*} \frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k\cos(k~x)+b_k\sin(k~x)\right) \end{equation*}\]

může pro konkrétní hodnoty koeficientů \(\displaystyle a_i\), \(\displaystyle b_i\) konvergovat k nějaké funkci \(\displaystyle f(x)\) a za jistých podmínek je tato funkce dostatečně pěkná: je spojitá, je možno ji derivovat člen po členu apod.

Při řešení rovnic matematické fyziky řešíme opačný problém: pro zadanou funkci \(\displaystyle f(x)\) na intervalu \(\displaystyle [-\pi,\pi]\) chceme nalézt koeficienty \(\displaystyle a_i\), \(\displaystyle b_i\) tak, aby na tomto intervalu platilo

\[ f(x)=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty\left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right). \]

Ukazuje se, že tento zápis funkce \(\displaystyle f\) pomocí goniometrických funkcí je možný, pokud použijeme následující volbu koeficientů

\[\begin{split}\begin{align*} a_0&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\mathrm dx\\ a_k&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)\,\mathrm dx\\ b_k&=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)\,\mathrm dx. \end{align*}\end{split}\]

Tyto vztahy je možno zobecnit i na jiné intervaly než \(\displaystyle [-\pi,\pi]\) a také pro jiné funkce než goniometrické – je možné použít například systém všech vlastních funkcí okrajové úlohy. V našem případě je možné ukázat, že pokud platí

\[ C_k=2\int_{0}^1\varphi(x)\sin(k\pi x)\,\mathrm dx, \]

potom na intervalu \(\displaystyle [0,1]\) platí

\[ \sum_{k=1}^\infty C_k\sin(k\pi x)=\varphi(x). \]

Máme tedy koeficienty \(\displaystyle C_k\), které je možno použít pro konečný zápis řešení naší úlohy.

13.3.1. Fourierova metoda (pokračování)

Řešení rovnice vedení tepla, které splňuje zadané počáteční a okrajové podmínky je

\[ u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty C_k\sin(k\pi x)e^{-\lambda^2 t}, \]

kde

\[ C_k=2\int_{0}^1\varphi(x)\sin(k\pi x)\,\mathrm dx. \]

Podobně, kmity struny jednotkové délky, popsané vlnovou rovnicí

\[ \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}, \]

s okrajovými podmínkami

\[ u(0,t)=0=u(1,t) \]

(struna upevněná na koncích) a počátečními podmínkami

\[ u(x,0)=\varphi(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x). \]

(počáteční poloha a rychlost všech bodů struny) jsou dány vztahem

\[ u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty\left(a_n\cos(k\pi t)+b_n\sin(k\pi t)\right)\sin(k\pi x), \]

kde

\[ a_k=2\int_0^1\varphi(x)\sin(k\pi x)\,\mathrm dx \]

a

\[ b_k=2\int_0^1\psi(x)\cos(k\pi x)\,\mathrm dx. \]

13.4. Separace proměnných u parciálních diferenciálních rovnic (původní zkrácená verze)

Video

Budeme se zabývat jednorozměrnou rovnicí vedení tepla ve tvaru

\[\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\]

V tomto tvaru rovnice neobsahuje žádné konstanty a je to tvar, se kterým se pracuje ve většině matematických publikací. Reálnou rovnici vedení tepla převedeme do tohoto tvaru zavedením bezrozměrných veličin, což si ukážeme v následující přednášce. Teď si ukážeme, jak řešení rovnice vede na řešení LDR druhého řádu. Uvažujme pro jednoduchost okrajovou úlohu, kdy konce tyče jsou udržovány na nulové teplotě, tj. je-li tyč délky \(\displaystyle l\) položena v ose \(\displaystyle x\) tak, že levý konec je v počátku, platí pro teplotu \(\displaystyle u(x,t)\) podmínky \(\displaystyle u(0,t)=u(l,t)=0\) v libovolném čase \(\displaystyle t\).

Budeme řešení hledat ve tvaru \(\displaystyle u(x,t)=\varphi(x)\psi(t)\), kde \(\displaystyle \varphi\) a \(\displaystyle \psi\) jsou funkcemi jedné proměnné. Platí

\[\frac{\partial u}{\partial t}=\varphi(x)\psi'(t), \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\varphi''(x) \psi(t)\]

a rovnice má tvar

\[\varphi(x)\psi'(t)=\varphi''(x)\psi (t).\]

Vydělením této rovnice součinem \(\displaystyle \varphi(x)\psi(t)\) dostáváme

\[\frac {\psi'(t)}{\psi(t)}=\frac{\varphi''(x)}{\varphi (x)}.\]

Toto je rovnice, kde levá strana je funkcí proměnné \(\displaystyle t\) a pravá strana funkcí proměnné \(\displaystyle x\). Obě proměnné jsou však nezávislé a uvedená rovnost může být splněna jen tehdy, když se rovnají společné konstantě.

\[\frac {\psi'(t)}{\psi(t)}=\frac{\varphi''(x)}{\varphi (x)}=\omega.\]

Okrajové podmínky vynucují platnost vztahů \(\displaystyle \varphi(0)=\varphi(l)=0\). Jesliže je v takovém případě konstanta \(\displaystyle \omega\) kladná, má úloha pouze nulové řešení (viz výše výpočet vlastních hodnot pro tuto úlohu). Konstanta \(\displaystyle \omega\) tedy musí být záporná. Přeznačme ji do tvaru

\[\omega = -\lambda^2\]

Platí tedy

\[\frac {\psi'(t)}{\psi(t)}=-\lambda ^2,\quad \frac{\varphi''(x)}{\varphi (x)}=-\lambda ^2.\]

První rovnice představuje lineární diferenciální rovnici prvního řádu

\[\psi'=-\lambda^2\psi\]

s partikulárním řešením \(\displaystyle \psi(t)=e^{-\lambda^2 t}.\) Druhá rovnice představuje společně s okrajovou podmínkou okrajovou úlohu pro lineární diferenciální rovnici druhého řádu

\[\varphi''+\lambda^2\varphi=0, \quad \varphi(0)=\varphi(l)=0.\]

Máme tedy Dirichletovu úlohu na vlastní čísla a vlastní funkce, jak jsme ji viděli u kmitů struny nebo u namáhání na vzpěr. Řešením je funkce \(\displaystyle \varphi(x)=\sin(\lambda x)\), kde \(\displaystyle \lambda\) je vlastní hodnota této úlohy. Funkce

\[u(x,t)=\sin(\lambda x)e^{-\lambda^2 t}\]

je tedy řešením rovnice

\[\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\]

Rovnici je možno přepsat do tvaru

\[\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,\]

kdy na levé straně stojí lineární operátor a na pravé straně je nula. Proto je každá lineární kombinace řešení opět řešením a pro libovolnou volbu konstant je funkce

\[u(x,t)=\sum_{\lambda}C_\lambda\sin(\lambda x)e^{-\lambda^2 t}\]

také řešením. Součet na pravé straně je přes všechna vlastní čísla, kterých je nekonečně mnoho.

Nyní začíná být rozbor úlohy nad rámec našeho kurzu, protože se objevil nekonečný součet. Ukazuje se, že tento zápis je dostatečně bohatý na to, aby obsáhl libovolnou rozumnou počáteční podmínku a vzorec je tedy schopen popsat řešení úlohy pro libovolné fyzikálně relevantní situace. Vidíme i přímo strukturu řešení, které je jakousi lineární kombinací různých módů. Tato skutečnost lépe vynikne na analogické diferenciální rovnici kmitání struny, kdy jednotlivé módy přímo vnímáme sluchem: struna nemůže kmitat na libovolné frekvenci, ale pouze a frekvenci dané okrajovou podmínkou a na frekvencích násobných.

Poznámka: Podobná situace a možnost separace proměnných je u rovnice kmitů struny

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\]

nebo jejího zobecnění na kmity desek a chvění těles. Opět separace vede k LDR druhého řádu pro složku závisející na \(\displaystyle x\). V tomto případě je druhého řádu i rovnice pro složku závislou na čase.