Matice

3. Matice#

3.1. Motivace - matice tuhosti a poddajnosti, zatížení nosníku#

Na praktické ukázce deformace nosníku si ukážeme zavedení čtyřrozměrných vektorů, matice a součinu matice s vektorem.

Sledujeme nosník ve vybraných čtyřech uzlových bodech. V těchto bodech je nosník zatížen silami \(f_1\), …, \(f_4\) a vlivem těchto sil je deformován nosník o \(u_1\), …, \(u_4\). Síly působí svisle, výchylky bodů jsou ve svislém směru.

Předpokládejme, že stejně jako na pružině je deformace úměrná síle. Předpokládejme, že deformace od různých sil se sčítají. Poté máme následující vztahy.

(3.1)#\[ \begin{aligned} u_1 = k_{11}f_1 + k_{12} f_2 + k_{13}f_3 + k_{14}f_4\cr u_2 = k_{21}f_1 + k_{22} f_2 + k_{23}f_3 + k_{24}f_4\cr u_3 = k_{31}f_1 + k_{32} f_2 + k_{33}f_3 + k_{34}f_4\cr u_4 = k_{41}f_1 + k_{42} f_2 + k_{43}f_3 + k_{44}f_4\cr \end{aligned} \]

Toto jsou celkem čtyři vztahy obsahující jako data čtyři veličiny. V reálu jsou sledovaných bodů tisíce místo čtyř a proto se jedná o nepraktický zápis pro práci (tisíce rovnic a tisíce neznámých).

3.1.1. Řádkový a sloupcový index#

Soustavu (3.1) je možné zapsat kratším způsobem ve tvaru

\[ u_i= k_{i1}f_1 + k_{i2} f_2 + k_{i3}f_3 + k_{i4}f_4 \]

pro \(i\in\{1,2,3,4\}\) nebo dokonce

\[ u_i= \sum_{j=1}^4 k_{ij}f_j. \]

Poslední výraz bývá obvyklejší zapsat pomocí Einsteinovy notace, kdy se vynechává znaménko pro sumu a přes opakovaný index se sčítá. Tedy soustava se zjednoduší na

\[u_i=k_{ij}f_j.\]

Tento zápis je již krátký i pro tisíce rovnic, ale jedná se vlastně jenom o jiný zápis obrovské soustavy rovnic. V následujících odstavcích si ukážeme jiný přístup.

3.1.2. Vektorový a maticový zápis#

Jinou variantou je použití sloupcových vektorů, kde soustavu (3.1) přepíšeme do tvaru

(3.2)#\[ \begin{pmatrix}u_1\cr u_2\cr u_3\cr u_4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}k_{11}\cr k_{21}\cr k_{31}\cr k_{41}\end{pmatrix} f_1 + \begin{pmatrix}k_{12}\cr k_{22}\cr k_{32}\cr k_{42}\end{pmatrix} f_2 + \begin{pmatrix}k_{13}\cr k_{23}\cr k_{33}\cr k_{43}\end{pmatrix} f_3 + \begin{pmatrix}k_{14}\cr k_{24}\cr k_{34}\cr k_{44}\end{pmatrix} f_4. \]

Tento tvar představuje jedinou rovnici mezi čtyřrozměrnými vektory. Naznačená operace se provádí po složkách. Jedná se o operaci kombinující součin čísel s vektory a sčítání vektorů. Tato operace se nazývá lineární kombinace vektorů.

Aby síly byly také ve formě vektoru, zapisujeme rovnici zpravidla ve tvaru

(3.3)#\[ \begin{pmatrix}u_1\cr u_2\cr u_3\cr u_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13}& k_{14} \cr k_{21} & k_{22} & k_{23}& k_{24} \cr k_{31} & k_{32} & k_{33}& k_{34} \cr k_{41} & k_{42} & k_{43}& k_{44} \cr \end{pmatrix} \begin{pmatrix}f_1\cr f_2\cr f_3\cr f_4 \end{pmatrix}, \]

přičemž obdélníkové schema vyplněné hodnotami se nazývá matice. Tímto je zaveden nový objekt (matice) a nová operace (součin matice a vektoru).

Po přeznačení

\[ U = \begin{pmatrix}u_1\cr u_2\cr u_3\cr u_4 \end{pmatrix}, \quad K= \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & k_{13}& k_{14} \cr k_{21} & k_{22} & k_{23}& k_{24} \cr k_{31} & k_{32} & k_{33}& k_{34} \cr k_{41} & k_{42} & k_{43}& k_{44} \cr \end{pmatrix} , \quad F = \begin{pmatrix}f_1\cr f_2\cr f_3\cr f_4 \end{pmatrix} \]

dostáváme

\[ U = K F, \]

kde \(U\) je vektor deformací, \(F\) je vektor působících sil a \(K\) je matice poddajnosti. Toto je již relativně jednoduchý vztah. Reprezentuje totiž jednu rovnici, která vyjadřuje, že jedna veličina je součinem dvou jiných veličin. V určitém smyslu je stejně jako u pružiny deformace úměrná působící síle, ovšem deformace a síla jsou vyjádřeny vektorem a konstanta úměrnosti maticí.

Podobně je možné postupovat i naopak a vyjádřit síly pomocí deformací vztahem

\[F=CU,\]
kde \(C\) je matice tuhosti.

Operace (3.3) mezi maticí a vektorem definovaná vztahem (3.2) se nazývá maticový součin. Později si ukážeme, jak tuto definici rozšířit na dvě matice.

3.2. Definice maticového součinu#

Součin matice a vektoru definujeme jako lineární kombinaci sloupců matice, při které jsou koeficienty komponenty vektoru.

Pro trojrozměrný vektor \(\vec v =\begin{pmatrix}v_1\cr v_2\cr v_3\end{pmatrix}\) a čtvercovou matici

\[A = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12}& a_{13}\cr a_{21} &a_{22}& a_{23}\cr a_{31} &a_{32}& a_{33} \end{pmatrix} \]

dostáváme

\[ A\vec v = \begin{pmatrix} a_{11} \cr a_{21} \cr a_{31} \end{pmatrix} v_1 + \begin{pmatrix} a_{12} \cr a_{22} \cr a_{32} \end{pmatrix} v_2 + \begin{pmatrix} a_{13} \cr a_{23} \cr a_{33} \end{pmatrix} v_3. \]

Pro obecnou definici je nejvýhodnější využití sumační notace nebo dokonce Einsteinovy notace, jak jsme ukázali v odstavci s motivací.

Definition 3.1 (Součin matice a vektoru)

Součinem matice \(A=(a_{ij})\) a vektoru \(\vec v = (v_{i})\) je vektor \(\vec u = (u_i)\) definovaný vztahem

\[u_i = \sum_j a_{ij} v_{j}.\]

3.3. Zobrazení vektorů#

V praxi používáme matice ve zobrazeních, kde je obrazem vektoru opět vektor. Maticové zobrazení má jistá specifika.

  • Obrazem nulového vektoru je vždy nulový vektor.

  • Obrazem násobku vektoru je násobek obrazu vektoru.

  • Obrazy rovnoběžných vektorů jsou rovnoběžné.

  • Obraz vektoru nemusí být rovnoběžný se vzorem.

První tři vlastnosti platí i pro násobení vektoru skalárním číslem. V tomto případě však automaticky vychází vzor a obraz rovnoběžný. Díky použití matice namísto skalární hodnoty jsme schopni modelovat i situace, kdy vzor a obraz nemusí mít stejný směr.

3.4. Konstituční zákony#

Konstituční zákony jsou zákony, které udávají, jak materiál reaguje na vnější podnět.

  • Při nerovnoměrném rozložení teploty v tělese se teplota vyrovnává vedením tepla. Intenzita děje souvisí se spádem teploty. (Fourierův zákon)

  • Při nerovnoměrném vlhkosti nebo koncentrace nějaké látky v tělese se nerovnovážná situace vyrovnává difuzí. Difuzní tok souvisí se spádem koncentrace. (Fickův zákon)

Ve dvourozměrných a trojrozměrných úlohách mají spád teploty či koncentrace a tok tepla či látky směr a velikost a jedná se tedy o vektory. Situace se liší podle toho, o jaký typ materiálu se jedná.

  • V izotropních materiálech má podnět stejný směr jako odezva a souvislost mezi nimi může být zprostředkována násobením skalární hodnotou. Proto v těchto materiálech matice nepotřebujeme. Fourierův zákon a Fickův zákon pro izotropní materiály maticovou formulaci nevyžadují.

  • V anizotropních materiálech je však situace jiná. Materiálové vlastnosti závisí na směru. Například v některém směru materiál vede teplo lépe, než ve směru jiném. Proto se tok tepla vždy stáčí do tohoto preferovaného směru a nemusí mít stejný směr jako spád teploty. Vztah mezi podnětem a odezvou je v tomto případě nutné vyjádřit pomocí maticového násobení. Proto Fourierův a Fickův zákon ve dřevě má v roli materiálové vlastnosti matici.

Příklad. Je-li spád teploty (například v Kelvinech na metr) dán vektorem \(\vec u\), je tok tepla \(\vec q\) (například ve wattech na metr čtvereční) v hliníku dán vztahem

\[\vec q = 237 \mathrm{W}/(\mathrm{m}\mathrm{K}) \cdot\vec u\]
a tok v (javorovém) dřevě vztahem
\[\vec q = \begin{pmatrix}0.3&0&0\cr0&0.18&0\cr 0&0&0.18\end{pmatrix}\mathrm{W}/(\mathrm{m}\mathrm{K}) \cdot\vec u. \]
(Viz Hliník a Tepelné vlastnosti dřeva.) Podíl velikosti toku tepla a spádu teploty je u hliníku konstantní a nezávislý na směru, ale u dřeva tomu tak není. Stejný spád teploty vyvolá jiný tok v podélném a jiný v příčném směru. Ilustrační zápisník ukazuje výpočet toku tepla v uvedených případech. Vektor definující pokles teploty je stále stejně dlouhý a jednotlivé scénáře se liší směrem. U hliníku je tok vždy stejně velký a vždy míří stejným směrem, jako je pokles teploty. U dřeva tomu tak není. Poznamenejme, že uvedený výpočet pro javor platí pouze, pokud jsou osy orientovány tak, že jsou v anatomických směrech dřeva. V obecném případě nebude mít matice nulové prvky, ale bude mít všech devět komponent nenulových, což jakoukoliv činí obtížnější, protože zpravidla se jedná o jeden článek v řetězci výpočtů a jakékoliv komplikace se dalšími kroky často prohlubují.

3.5. Geometrické transformace I#

Body v prostotu můžeme ztotožnit s vektory a matice může poté popisovat zobrazení bodů v prostoru.

  • Ilustrační zápisník

  • Sloupce matice popisující zobrazení jsou obrazy jednotkových vektorů ve směru os.

  • Jednotková matice (sestavená z jednotkových vektorů ve směru os, tj. s jedničkami v hlavní diagonále a nulami jinak) odpovídá identickému zobrazení, každý vektor se zobrazí sám na sebe.

    \[ I = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr0&1&0\cr 0&0&1 \end{pmatrix} \]

  • Matice rotace o úhel \(\theta\) proti směru hodinových ručiček má tvar

    \[ \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\cr \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}. \]

  • Součet a rozdíl matic je definován po složkách. Součin matic je definován jako složené zobrazení (viz též níže).

3.6. Geometrické transformace II#

3.6.1. Motivace#

Násobení matice s nulovým vektorem je nulový vektor. Proto se zobrazením

\[X\to AX\]
počátek zobrazí vždy na počátek. Proto není možné pomocí maticového násobení realizovat například posunutí. Podobně je možné ukázat, že maticové násobení zachovává rovnoběžnost a proto není možné pomocí maticového násobení realizovat perspektivu. Například není možné pomocí maticového násobení modelovat zobrazení kamerou a není možné vyhodnocovat data z fotografií. Pro odstranění těchto nevýhod je možné použít rozšíření souřadnic, homogenní souřadnice.

3.6.2. Homogenní souřadnice#

  • Homogenní souřadnice vzniknou doplněním jedničky jako další souřadnice. Pracuje se s nimi jako s vektory v dimenzi o jedničku větším. Například bod \([1,2]\) má v homogenních souřadnicích tvar \((1,2,1)\)

  • Před převodem z homogenních souřadnic do kartézských je nutné zajistit na poslední pozici jedničku a poté převést na bod v kartézských souřadnicích. Například \((6,90,3)\) jsou homogenní souřadnice bodu \([2,30]\).

3.6.3. Posunutí pomocí maticového součinu.#

V homogenních souřadnicích neplatí podmínka, že nula se zobrazuje na nulu. Je možné takto realizovat například posunutí. Matice posunutí v rovině, která počátek posune do bodu \((a_1,a_2)\), je

\[\begin{pmatrix}1&0&a_1\cr 0&1&a_2\cr 0&0&1\end{pmatrix}.\]
Vskutku, přímým výpočtem v homogenních souřadnicích dostáváme následující.
\[ \begin{pmatrix}1&0&a_1\cr 0&1&a_2\cr 0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1\cr u_2\cr 1\end{pmatrix} = u_1\begin{pmatrix}1\cr 0\cr 0\end{pmatrix}+ u_2\begin{pmatrix}0\cr 1\cr 0\end{pmatrix}+ 1\begin{pmatrix}a_1\cr a_2\cr 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_1+a_1\cr u_2+a_2\cr 1\end{pmatrix}\]

3.6.4. Perspektiva pomocí maticového součinu#

V homogenních souřadnicích neplatí podmínka, že se rovnoběžky zobrazují na rovnoběžky. Tím je možné maticový součin použít pro obrázky s perspektivou. Viz Camera matrix.

3.7. Maticový součin dvou matic#

  • Maticový součin dvou matic je definován pomocí násobení matice a vektoru. Součin \(C=AB\) je matice, která má ve sloupcích obrazy sloupců matice \(B\) při zobrazení popsaném maticí \(A\).

  • Součin \(C=AB\) je možno chápat jako složené zobrazení, kdy nejprve použijme zobrazení \(B\) a potom zobrazení \(A\).

  • Maticový součin obecně není komutativní. Obecně neplatí \(AB=BA.\)

  • Maticový součin je asociativní. Platí \(A(BC)=(AB)C\).

  • Neutrálním prvkem je jednotková matice \(I\).

3.8. Markovovy řetězce#

Matice je možné použít k modelování vývoje systémů. Z pravděpodobností s jakou se systém nachází v jednotlivých stavech sestavíme vektor a matici použijeme k modelování toho, jak systém přechází z jednoho stavu do druhého.

Ilustrativní zápisník, sukcese lesa.

Obsah