Fourierův zákon

Fourierův zákon#

Podle Fourierova zákona je možné získat tok tepla jako součin součinitele tepelné vodivosti materiálu a spádu teploty (záporně vzatého gradientu teploty). Pro anizotropní materiály je však součinitel tepelné vodivosti maticový, což s sebou nese několik komplikací.

  • Při stejném poklesu teploty na jednotku délky nemusí být stejný tepelný tok.

  • Tepelný tok nemusí být rovnoběžný se směrem poklesu teploty.

Níže si toto ilustrujeme na příkladě dvou materiálů: izotropního hliníku a anizotropního dřeva.

import numpy as np
import pandas as pd
np.set_printoptions(precision=4)
aluminium_conductivity = 237 # W / (m * K)  
wood_conductivity = np.array([0.3, 0, 0, 0.180]).reshape(2,2)   # https://www.dashofer.cz/download/pdf/drv/2_5_1_tepelne_vlastnosti_dreva.pdf , javor

---------------------------------------------------------------------------
ModuleNotFoundError                       Traceback (most recent call last)
Cell In[1], line 1
----> 1 import numpy as np
      2 import pandas as pd
      3 np.set_printoptions(precision=4)

ModuleNotFoundError: No module named 'numpy'

def test_parallel(a,b):
    """
    Returns True if vectors a and b are parallel
    """
    return np.abs((np.dot(a,b)/(np.linalg.norm(a)*np.linalg.norm(b)))-1)<0.0001

data = {}
np.random.seed(42)
v = np.random.rand(2)
v = v/np.linalg.norm(v)
spady_teploty = [(1,0),(0,1),(1,1)*1/np.sqrt(2), v]
dec_places = 5
for i,spad_teploty in enumerate(spady_teploty):
    # vypocet toku
    spad_teploty = np.array(spad_teploty)
    tok_al = aluminium_conductivity * spad_teploty  # tok tepla v hliniku
    tok_wood = wood_conductivity @ spad_teploty  # tok tepla ve dreve, pouzivame maticove nasobeni @
    # zaokrouhleni
    # spad_teploty, tok_al, tok_wood = list(map(lambda x:np.around(x,dec_places),[spad_teploty, tok_al, tok_wood]))
    # ulozeni do tabulky
    data[(i,'spád teploty')] = [spad_teploty] * 2
    data[(i,'velikost spádu teploty')] = [np.linalg.norm(spad_teploty)]*2
    toky = [tok_al, tok_wood]
    data[(i,'tok')] = toky
    data[(i,'velikost toku')] = [np.linalg.norm(x) for x in toky]
    data[(i,'test rovnoběžnosti')] = [test_parallel(x,spad_teploty) for x in toky]

df = pd.DataFrame(data).T
df.columns = ["Hliník", "Dřevo"]
polozky = np.unique([i[1] for i in df.index])
df.style.format(precision=3)
    Hliník Dřevo
0 spád teploty [1 0] [1 0]
velikost spádu teploty 1.000 1.000
tok [237 0] [0.3 0. ]
velikost toku 237.000 0.300
test rovnoběžnosti True True
1 spád teploty [0 1] [0 1]
velikost spádu teploty 1.000 1.000
tok [ 0 237] [0. 0.18]
velikost toku 237.000 0.180
test rovnoběžnosti True True
2 spád teploty [0.7071 0.7071] [0.7071 0.7071]
velikost spádu teploty 1.000 1.000
tok [167.5843 167.5843] [0.2121 0.1273]
velikost toku 237.000 0.247
test rovnoběžnosti True False
3 spád teploty [0.3665 0.9304] [0.3665 0.9304]
velikost spádu teploty 1.000 1.000
tok [ 86.8696 220.5055] [0.11 0.1675]
velikost toku 237.000 0.200
test rovnoběžnosti True False

Čeho si všímat#

  • Jsou zadány čtyři možnosti spádu teploty. Tyto možnosti se liší pouze směrem, velikost spádu je vždy jeden Kelvin na metr. První dvě možnosti jsou ve směru os, třetí je normovaným součtem prvních dvou a poslední je náhodná.

  • U hliníku je velikost toku ve všech případech stejná (237) a vždy rovnoběžná se spádem teploty.

  • U dřeva je velikost toku tepla v každém ze tří případů jiná a pouze ve dvou případech ze tří je tok rovnoběžný se spádem teploty. V posledním případě teplo neteče směrem, kterým klesá teplota, ale tok se odklání vlivem rozdílných vlastností dřeva v rúzných směrech.

for polozka in ["velikost spádu teploty","velikost toku", "test rovnoběžnosti"]:
    display(df.loc[(slice(None), polozka), :])
Hliník Dřevo
0 velikost spádu teploty 1.0 1.0
1 velikost spádu teploty 1.0 1.0
2 velikost spádu teploty 1.0 1.0
3 velikost spádu teploty 1.0 1.0
Hliník Dřevo
0 velikost toku 237.0 0.3
1 velikost toku 237.0 0.18
2 velikost toku 237.0 0.247386
3 velikost toku 237.0 0.200346
Hliník Dřevo
0 test rovnoběžnosti True True
1 test rovnoběžnosti True True
2 test rovnoběžnosti True False
3 test rovnoběžnosti True False 
for polozka in polozky:
    display(df.loc[(slice(None), polozka), :].style.format(precision=3))
    Hliník Dřevo
0 spád teploty [1 0] [1 0]
1 spád teploty [0 1] [0 1]
2 spád teploty [0.7071 0.7071] [0.7071 0.7071]
3 spád teploty [0.3665 0.9304] [0.3665 0.9304]
    Hliník Dřevo
0 test rovnoběžnosti True True
1 test rovnoběžnosti True True
2 test rovnoběžnosti True False
3 test rovnoběžnosti True False
    Hliník Dřevo
0 tok [237 0] [0.3 0. ]
1 tok [ 0 237] [0. 0.18]
2 tok [167.5843 167.5843] [0.2121 0.1273]
3 tok [ 86.8696 220.5055] [0.11 0.1675]
    Hliník Dřevo
0 velikost spádu teploty 1.000 1.000
1 velikost spádu teploty 1.000 1.000
2 velikost spádu teploty 1.000 1.000
3 velikost spádu teploty 1.000 1.000
    Hliník Dřevo
0 velikost toku 237.000 0.300
1 velikost toku 237.000 0.180
2 velikost toku 237.000 0.247
3 velikost toku 237.000 0.200
Obsah