Základy teorie elasticity

11. Základy teorie elasticity#

11.1. První a druhá impulsová věta.#

11.1.1. Popis posuvného a rotačního pohybu tělesa#

Fyzikální parametry pro popis posuvného pohybu tělesa:

  • hmotnost tělesa \(m\)

  • rychlost tělesa \(\vec v\)

  • hybnost tělesa \(\vec p = m \vec v\)

Fyzikální parametry pro popis rotačního pohybu tělesa:

  • moment setrvačnosti tělesa \(J\)

  • úhlová rychlost tělesa \(\vec \omega\)

  • moment hybnosti tělesa \(\vec L = J \vec \omega\)

11.1.2. Impulsové věty#

Věta (První impulsová věta)

Časová změna celkové hybnosti tělesa (soustavy) je rovna součtu vnějších sil působících na těleso (soustavu).

\[ \frac{d\vec p}{dt} = \sum \vec F \]

Věta (Druhá impulsová věta)

Časová změna celkového momentu hybnosti tělesa (soustavy) je rovna celkovému momentu vnějších sil působících na těleso.

\[ \frac{d\vec L}{dt} = \sum \vec M \]

11.1.3. Podmínky rovnováhy#

Věta (Podmínka statické rovnováhy)

\[\sum \vec F = \sum \vec M = 0\]

11.2. Teorie elasticity#

11.2.1. Deformace, namáhání a Hookův zákon v 1D#

  • Normálové napětí \(\varsigma = \frac FS\), síla působící na jednotku plochy.

  • Normálová deformace \(\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}\), relativní prodloužení, udává, o kolik procent se materiál prodlouží (kladná hodnota) nebo zkrátí (záporná hodnota).

  • Hookův zákon: normálové napětí \(\sigma\) a normálová deformace \(\varepsilon\) jsou si úměrné. Platí

    \[\varepsilon = \frac 1E \sigma.\]
    Konstanta \(E\) je modul pružnosti v tahu, který charakterizuje tuhost materiálu. Čím větší je modul pružnosti, tím méně se materiál deformuje při působení daného napětí.

11.2.2. Deformace, namáhání a Hookův zákon ve 2D#

11.2.3. Deformace, namáhání a Hookův zákon ve 3D#

11.2.3.1. Tenzor napětí#

  • Napětí je podílem velikosti působící síly a velikosti plochy, na kterou tato síla působí. Pro sílu kolmou k ploše mluvíme o normálovém napětí, pro sílu ve směru plochy o smykovém napětí.

  • Znaménková konvence - viz obrázek. Napětí v obrázku jsou kladná, opačná napětí jsou záporná. Kladné normálové napětí tedy značí tah, záporné tlak.

  • V obrázku jsou napěí pouze na třech stěnách, na zbylých šesti jsou odpovídající napětí tak, aby element byl ve statické rovnováze, tj. aby výsledná síla a výsledný moment byly nulové.

\[ \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_x & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\cr \sigma_{xy} & \sigma_y & \sigma_{yz}\cr \sigma_{xz} & \sigma_{xy} & \sigma_{z} \end{pmatrix} \]

Tenzor napětí je bilineární forma, umožňuje výpočet síly na libovolně orientované ploše

11.2.3.2. Praktická ukázka tenzoru napětí v tříbodovém ohybu#

11.2.3.2.1. Tříbodový ohyb, tah v podélném směru#

Tah na spodní straně, tlak na horní straně a před podpěrami. Zeleně neutrální oblast, kde je napětí nulové.

11.2.3.2.2. Tříbodový ohyb, tah v podélném směru pro čtvrtinu nosníku#

Numerická simulace pro část nosníku šetří strojový čas a nároky na paměť. V tomto případě je možné použít symetrii a počítat pouze čtvrtinu nosníku.

11.2.3.2.3. Tříbodový ohyb, smykové napětí#

Smykové napětí v levé a pravé polovině nosníku se liší znaménkem, je antisymetrické.

11.2.3.3. Linearizace vektoru posunutí, tenzor deformace#

\[ \varepsilon = (\varepsilon_{ij}) = \left(\frac 12\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\right) \]

  • Komponenty \(\varepsilon_{ii}\) jsou normálové deformace, \(\varepsilon_{ij}\) pro \(i\neq j\) jsou smykové deformace.

  • Normálová deformace udává, o kolik procent se materiál v daném směru prodlouží (kladná hodnota) nebo zkrátí (záporná hodnota). Smyková deformace udává, jak se změní pravé úhly (polovina změny velikosti úhlu v obloukové míře).

Obsah