1. Funkce

Při hlubším než povrchním studiu libovolného systému nás zajímají veličiny spojené se studovaným problémem a vztahy mezi těmito veličinami. Tyto vztahy jsou zprostředkovávány funkcemi. Jako příklad si představme nosník vetknutý do země a na konci zatížený vodorovnou silou \(F\). Deformace nosníku \(\delta\) na konci (skalární veličina) souvisí s velikostí zatěžující síly (skalární veličina). Pro studium problému je vhodné mít převodní pravidlo, které pro každé zatížení udává deformaci. Toto pravidlo bude z matematického úhlu pohledu funkce (funkce jedné proměnné). Může mít například formu

\[\delta=\frac 1k F,\]

kde \(k\) je konstanta pro daný nosník (tuhost).

Na řadu použití stačí intuitivní chápání funkce i jejích vlastností. Někdy je však potřeba si myšlenky zpřesnit a plně formalizovat. V následujícím představíme definici funkce, rozdělíme funkce na rostoucí, klesající a ostatní a ukážeme si využití těchto vlastností.

1.1. Funkce jedné proměnné

Definition (Funkce jedné proměnné)

Buďte \(A\) a \(B\) neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Pravidlo \(f\), které každému prvku množiny \(A\) přiřadí jediný prvek množiny \(B\) se nazývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zapisujeme \(f:A\to B\). Skutečnost, že prvku \(a\in A\) je přiřazen prvek \(b\in B\) zapisujeme \(f(a)=b\). Přitom říkáme, že \(b\) je obrazem prvku \(a\) při zobrazení \(f\), resp. že \(a\) je vzorem prvku \(b\) při zobrazení \(f\).

Remark (Terminologie)

Množina \(A\) z definice funkce se nazývá definiční obor funkce \(f\). Označujeme \(\mathrm D(f)\) (resp. \(\mathrm{Dom}(f)\)). Je-li \(M\) podmnožina definičního oboru, definujeme množinu \(f(M)\) jako množinu všech obrazů bodů množiny \(M\). Množina \(f(\mathrm{Dom}(f))=b\) se nazývá obor hodnot funkce \(f\). Označujeme \(\mathrm H(f)\) (resp. \(\mathrm{Im}(f)\)).

Je-li \(y=f(x)\) nazýváme proměnnou \(x\) též nezávislou proměnnou a proměnnou \(y\) závislou proměnnou. Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic \([x,y]\in\mathbb R^2\) s vlastností \(y=f(x)\).

1.2. Přímá a nepřímá úměrnost

Je to až k nevíře, ale k popisu obrovského množství dějů stačí čtyři základní operace: sčítání, odčítání, násobení a dělení. Vzhledem k požadavku na konzistenci fyzikálních jednotek se nejčastěji setkáváme s násobením a dělením a proto funkce pracující s těmito operacemi mají výsadní postavení. Takový, že si vysloužily pojmenování běžně užívané i mezi nematematiky: přímá a nepřímá úměrnost. Je to formální popis situace, kdy souvislost mezi dvěma veličinami je zprostředkována násobením konstantou (přímá úměrnost), nebo kdy je násobením konstantou zprostředkována souvislost mezi jednou veličinou a převrácenou hodnotou druhé veličiny.

Definition (Přímá a nepřímá úměrnost)

Veličina \(y\) je přímo úměrná veličině \(x\) jestliže existuje konstanta \(k\) taková, že platí

\[y=kx.\]

Veličina \(y\) je nepřímo úměrná veličině \(x\) jestliže existuje konstanta \(k\) taková, že platí

\[y=\frac kx.\]

Remark

Je-li veličina \(y\) úměrná veličině \(x\), píšeme

\[y\sim x\text{ nebo }y\propto x.\]

Je-li navíc konstanta úměrnosti blízká jedničce, tj. \(x\) a \(y\) jsou blízké, píšeme

\[y\approx x.\]

Pro nepřímou úměrnost píšeme podobně \(y\sim \frac 1x\), \(y\propto \frac 1x\) a \(y\approx \frac 1x\) s využitím toho, že nepřímá úměrnost je vlastně přímá úměrnost pro převrácenou hodnotu.

1.3. Příklady přímé a nepřímé úměrnosti

1.3.1. Dráha pohybu konstantní rychlostí

Při pohybu konstantní rychlostí je dráha \(s\) úměrná času \(t\). Příslušnou konstantou úměrnosti je rychlost \(v\), tj. \(s=vt\). Pro \(t=1\) je dráha \(s\) přímo rovna konstantě úměrnosti \(v\). Proto můžeme konstantu úměrnosti reprezentovat jako dráhu za jednotku času. Takto rychlost i chápeme a v tomto smyslu čteme i její jednotku. Nečteme „kilometrů lomeno hodin“ ale „kilometrů za hodinu“.

1.3.2. Čas pro projetí předem stanovené dráhy

Při pohybu po předem stanovené dráze \(s\) je čas nepřímo úměrný rychlosti \(v\). Platí \(t=\frac sv\). Konstantou úměrnosti je dráha \(s\). Pro \(v=1\) je čas přímo roven dráze. Proto je možno konstantu úměrnosti slovně vyjádřit tak, že udává čas, který je nutný pro projetí příslušné dráhy jednotkovou rychlostí.

1.3.3. Dynamická odezva stromů

Dynamická odezva stromů ve větru je častým námětem mnoha vědeckých prací. Souhrnná studie Jackson, T. et al (2021) The motion of trees in the wind: a data synthesis. Biogeosciences. tvrdí, že v některých případech (zpravidla listnáče v lese) je základní frekvence vlastních kmitů stromů nepřímo úměrná odmocnině výšky, což je vztah známý pro kyvadlo.

\[f\sim \frac 1{\sqrt H}\]

U jiných stromů (zpravidla jehličnaté stromy) je základní frekvence přímo úměrná průměru \(d\) a nepřímo úměrná druhé mocnině výšky \(H\), tj.

\[f\sim \frac{d}{H^2}.\]

Tento vztah je znám pro nosníky. Existence dvou různých vztahů ukazuje, že pro některé stromy je pro dynamické vlastnosti dominantní hmota v koruně, pro jiné stromy hmota podél kmene.

1.3.4. Další příklady přímé a nepřímé úměrnosti

• Při periodickém pohybu je frekvence \(f\) nepřímo úměrná periodě \(T\). Příslušnou konstantou úměrnosti je jednička, tj. \(f=\frac 1T\).

• Objem \(V\) koule o poloměru \(r\) je přímo úměrný třetí mocnině poloměru. Existuje tedy konstanta \(k\) taková, že platí \(V=k r^3\). Pro \(r=1\) je objem \(V\) přímo roven konstantě \(k\). Konstanta proto \(k\) vyjadřuje objem koule jednotkového poloměru. Protože objem koule jednotkového poloměru je \(\frac 43 \pi\) učí se žáci v matematice rovnou vzorec \(V=\frac 43 \pi r^3\).

• Síla působící na těleso ve vzdálenosti \(r\) od planety je dána vztahem \(F=\frac{k}{r^2}\), kde \(k\) je konstanta úměrnosti (závislá na hmotnosti planety i tělesa). Toto můžeme slovně vyjádřit tak, že síla je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti. Pro \(r\) rovno jedné je síla \(F\) přímo rovna konstantě \(k\). Konstanta úměrnosti \(k\) proto udává sílu působící na těleso v jednotkové vzdálenosti od planety.