14.1. Numerický odhad derivace
Základním přístupem při numerickém odhadu derivace je vynechání limitního přechodu v definici derivace. Pro funkci jedné proměnné a její derivaci
\[\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
tedy dostáváme
\[\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]
Okamžitá rychlost je nahrazena průměrnou rychlostí na intervalu \((x,x+h).\) Tento podíl se nazývá dopředná poměrná diference nebo zkráceně dopředná diference. Pokud použijeme tento postup pro parciální derivace, dostáváme
\[\frac{\partial f}{\partial x}\approx\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\]
a
\[\frac{\partial f}{\partial y}\approx\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}.\]
Přesnější odhady založené na detailnější analýze poskytnou přesnější formule pro aproximace první a druhé derivace ve tvaru
\[f'(x)=\frac{\mathrm d f}{\mathrm dx}\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \]
a
\[f''(x)=\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm dx^2}\approx \frac{f(x-h)-2f(x)+f(x+h)}{h^2}. \]
Analogicky pro parciální derivaci podle \(x\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}\approx \frac{f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h} \]
a
\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\approx \frac{f(x-h,y)-2f(x,y)+f(x+h,y)}{h^2}.\]
Tato aproximace první derivace používá centrální diferenci a je přesnější než aproximace založená na dopředné diferenci, protože je založena na přesnější aproximaci funkce \(f\).
Analogicky je možno nalézt aproximace parciálních derivací. V následujícím jsou vypsány i s odhadem chyby.
\[\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x}&= \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}+O(h) \cr \frac{\partial f}{\partial x}&= \frac{f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}+O(h^2)\cr\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}&= \frac{f(x-h,y)-2f(x,y)+f(x+h,y)}{h^2}+O(h^2)\end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}&= \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}+O(h) \cr \frac{\partial f}{\partial y}&= \frac{f(x,y+h)-f(x,y-h)}{2h}+O(h^2)\cr\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}&= \frac{f(x,y-h)-2f(x,y)+f(x,y+h)}{h^2}+O(h^2)\end{aligned}\]
Konečné diference, numerické derivování, prezentace
14.4. Diskretizace parciální diferenciální rovnice
Diskretizaci parciální diferenciální rovnice uvedeme přímo na příkladu.
Rovnice vedení tepla v 1D má v nejjednodušším tvaru (homogenní tyč, lineární materiálové vlastnosti) podobu
\[\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.\]
Zpravidla diskretizujeme čas pomocí dopředné derivace a dostáváme pro \(T_i^j\) (dolní index pro polohu, horní index pro čas)
\[\frac{T_i^{j+1}-T_i^j}{\Delta t}\approx \frac{\lambda}{\rho c\Delta x^2}[T_{i-1}^j - 2T_i^j + T_{i+1}^j]. \]
Odsud
\[T_i^{j+1}\approx T_i^j + \frac{\lambda \Delta t}{\rho c\Delta x^2}[T_{i-1}^j - 2T_i^j + T_{i+1}^j]. \]
Je-li \(T^j\) sloupcový vektor teplot, je možné psát
\[T^{j+1}=T^j + \alpha A T^j,\]
kde \(\alpha = \frac{\lambda \Delta t}{\rho c\Delta x^2}\) a
\(A\) je matice která má v hlavní diagonále číslo \(-2\), ve dvou vedlejších diagonálách číslo \(1\) a první a druhý řádek jsou uzpůsobeny podle okrajových podmínek.
Další možnosti diskretizace (viz Wikipedie) mají výhodu větší stability, ale jsou náročnější na výpočet, protože je nutné řešit soustavu rovnic.