4. Vlastní směry a vlastní hodnoty matic

4.1. Konstituční zákony

• Matice jako trenzor a materiálová vlastnost

  • Například spád teploty se zobrazí na tok tepla (Fourierův zákon), spád koncentrace se zobrazí na difuzní tok (Fickův zákon).

  • Vzor a obraz nemusí být rovnoběžné

  • Matice souvisí se souřadnicemi, materiálová vlastnost ne. Proto se ve fyzice pracuje častěji s pojmem tenzor. V souřadnicích můžeme brát tenzor jako matici, která se ještě chová speciálním způsobem při změnách souřadnic.

• Ortotropní materiály

  • Mají několik rovin souměrnosti

  • Podnět ve význačných směrech má díky symetrii stejný směr jako je odezva na tento podnět.

4.2. Vlastní směry a hodnoty

Definition 4.1 (Vlastní číslo a vlastní vektor)

Buďte \(A\) matice, \(\lambda\) číslo a \(\vec v\) vektor, splňující

\[A\vec v = \lambda \vec v.\]

Potom se vektor \(\vec v\) nazývá vlastním vektorem matice \(A\) a číslo \(\lambda\) vlastním číslem matice \(A\) příslušným vlastnímu vektoru \(\vec v\).

Neformální definice. Vlastní směr matice je směr, který se zobrazuje na směr rovnoběžný. Délka obrazu jednotkového vektoru mířícího vlastním směrem je vlastní číslo.

• Pro aplikace to znamená, že podnět (například spád teploty) ve vlastním směru vyvolá odezvu (například tok tepla) ve stejném směru.

• Vlastní směry symetrických materiálů souvisí s rovinami symetrie.

• Synonymum pro vlastní směr a vlastní hodnotu jsou vlastní vektor a vlastní číslo.

4.3. Diagonalizace

Konstituční zákony v ortotropních materiálech jsou jednoduché, pokud volíme souřadnou soustavu ve vlastních směrech tenzoru popisujícího daný zákon. V takových případech je matice popisující danou vlastnost diagonální. Například tok tepla vyvolaný spádem teploty v podélném směru dřeva je také v tomto směru. Totéž platí i pro další anatomické směry.

Je snadné ukázat, že nejobecnější matice, která má vlastní vektory \(\vec e_1=\begin{pmatrix}1\cr0\cr0\end{pmatrix}\), \(\vec e_2=\begin{pmatrix}0\cr1\cr0\end{pmatrix}\) a \(\vec e_3=\begin{pmatrix}0\cr0\cr1\end{pmatrix}\) je diagonální matice. Opravdu, první sloupec matice musí být násobkem vektoru \(\vec e_1\), druhý sloupec násobkem vektoru \(\vec e_2\) atd. Například tepelná vodivost musí být tvaru

\[\lambda = \begin{pmatrix}\lambda_L&0&0\cr 0&\lambda_R&0\cr 0&0&\lambda_T\end{pmatrix},\]

kde diagonální prvky reprezentují vodivosti v jednotlivých anatomických směrech dřeva.

Toto je obrovská pomoc: abychom popsali chování materiálu, není nutné znát všech devět komponent matice z Fourierova zákona (resp. šest, s uvážením symetrie), ale stačí znát tři diagonální.

4.4. Transformace souřadnic, inverzní matice

• Vztah mezi souřadnicemi v různých souřadnicových systémech, animace

• Inverzní matice je náhrada za absenci dělení matic.

• Transformace tenzoru do jiných souřadnic, animace

• Tyč je namáhána tahovým napětím \(10\,\mathrm{MPa}\) (\(100\,\mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2\)). Uprostřed je rovný lepený spoj skloněný o \(30^\circ\) od kolmice na podélnou osu. Jaké je normálové a smykové namáhání spoje? Výpočet

• Využití inverzní matice k řešení soustav lineárních rovnic

Další informace: viz Matematika