12.1. Hookův zákon pro izotropní, anizotropní a ortotropní materiál
Tenzory napětí a deformace
\[\begin{split}
\varepsilon = \begin{pmatrix}
\varepsilon_x & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy} & \varepsilon_y & \varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_z
\end{pmatrix}
\quad \text{a} \quad
\sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_x & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\cr
\sigma_{xy} & \sigma_y & \sigma_{yz}\cr
\sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{z}
\end{pmatrix}
\end{split}\]
upravíme na vektory.
\[\begin{split}\varepsilon = \left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
\quad \text{a} \quad
\sigma = \left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right).
\end{split}\]
Toto označení se nazývá Voigtova notace.
Hookův zákon má tvar
\[\varepsilon = S \sigma,\]
kde \(S\) je matice poddajnosti, resp.
\[\sigma = C \varepsilon,\]
kde \(C\) je matice tuhosti. Matice tuhosti a matice poddajnosti jsou navzájem inverzní, tj. \(C = S^{-1}\) a \(S = C^{-1}\).
Matice poddajnosti je maticí, vyjadřující úměrnost mezi oběma tenzory. Slovně vyjádřeno, u každé komponenty deformace se sčítají příspěvky od všech komponent napětí, přičemž příspěvky od každého napětí jsou úměrné těmto napětím. To je přímá analogie jednorozměrného Hookova zákona
\[\varepsilon = \frac 1E \sigma.\]
Hookův zákon pro obecný anizotropní materiál rozepsaný po složkách pro tenzory
ve Voigtově notaci vypadá následovně.
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
S_{11} & S_{12} & S_{13} & S_{14} & S_{15} & S_{16} \\
S_{21} & S_{22} & S_{23} & S_{24} & S_{25} & S_{26} \\
S_{31} & S_{32} & S_{33} & S_{34} & S_{35} & S_{36} \\
S_{41} & S_{42} & S_{43} & S_{44} & S_{45} & S_{46} \\
S_{51} & S_{52} & S_{53} & S_{54} & S_{55} & S_{56} \\
S_{61} & S_{62} & S_{63} & S_{64} & S_{65} & S_{66} \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right).
\end{split}\]
Například komponenta \(\varepsilon_x\) strain tenzoru je dána vztahem
\[\varepsilon_x = S_{11}\sigma_x + S_{12}\sigma_y + S_{13}\sigma_z + S_{14}\sigma_{yz} + S_{15}\sigma_{xz} + S_{16}\sigma_{xy}.\]
Matice poddajnosti \(S\) je symetrická, tj. obsahuje ne 36, ale pouze 21 nezávislých materiálových konstant.
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
S_{11} & S_{12} & S_{13} & \color{blue}S_{14} & \color{blue}S_{15} & \color{blue}S_{16} \\
& S_{22} & S_{23} & \color{blue}S_{24} & \color{blue}S_{25} & \color{blue}S_{26} \\
& & S_{33} & \color{blue}S_{34} & \color{blue}S_{35} & \color{blue}S_{36} \\
& & & S_{44} & \color{red}S_{45} & \color{red}S_{46} \\
\rlap{\text{symmetric}} & & & & S_{55} & \color{red}S_{56} \\
& & & & & S_{66} \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right)
\end{split}\]
Pro naprostou většinu materiálů se počet konstant dále redukuje.
Zpravidla se smykové namáhání projevuje jenom ve své vlastní rovině. Například smykové napětí \(\sigma_{yz}\) vyvolává smykovou deformaci \(\varepsilon_{yz}\), ale nevyvolává smykovou deformaci \(\varepsilon_{xz}\) nebo \(\varepsilon_{xy}\). Proto jsou červené vyznačené prvky dávající do relace smykové napětí v jedné rovině se smykovou deformací v jiné rovině nulové.
\[S_{45}=S_{46}=S_{56}=0\]
Tím je počet nezávislých materiálových konstant zredukován na 18.
12.1.1. Ortotropní materiály
Ortotropní materiály jsou materiály, jejichž struktura se nemění při rotaci o \(180^\circ\) okolo libovolné ze tří navzájem kolmých os. Typickým představitelem je dřevo. V tomto případě volíme často směry \(x=L\), \(y=R\), \(z=T\). Platí \(E_L>E_R>E_T\).
Modře vyznačené prvky v matici poddajnosti dávají do relace smykové namáhání a normálové napětí.
Při vhodné volbě souřadnic nevyvolávají normálová napětí smykovou deformaci a smyková napětí nevyvolávají normálovou deformaci.
V pravém horním bloku matice jsou proto nuly. Matice poddajnosti se dále redukuje a počet materiálových konstant se snižuje na 9.
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\
& S_{22} & S_{23} & 0 & 0 & 0 \\
& & S_{33} & 0 & 0 & 0 \\
& & & S_{44} & 0 & 0 \\
\rlap{\text{symmetric}} & & & & S_{55} & 0 \\
& & & & & S_{66} \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right)
\end{split}\]
Materiálové vlastnosti určujeme pomocí devíti na sobě nezávislých materiálových konstant.
Konstanta úměrnosti mezi normálovým napětím \(\sigma_i\) a normálovou deformací \(\varepsilon_i\) se nazývá Youngův modul \(E_i\). Platí
\[
\varepsilon_i = \frac 1{E_i} \sigma_i\quad \text{ pro $i\in\{x,y,z\}$}.\]
Konstanta úměrnosti mezi smykovým napětím \(\sigma_{ij}\) a smykovou deformací \(\varepsilon_{ij}\) se nazývá smykový modul \(G_{ij}\). Platí
\[
\varepsilon_{ij} = \frac 1{G_{ij}} \sigma_{ij} \quad \text{ pro $i,j\in\{x,y,z\}$, $i\neq j$}.\]
Poměr mezi normálovou deformací v jednom směru a normálovou deformací v jiném směru se nazývá Poissonovo číslo \(\nu_{ij}=-\frac{\varepsilon_j}{\varepsilon_i}\). Platí tedy
\[\varepsilon_j = -\nu_{ij} \varepsilon_i
= - \frac{\nu_{ij}}{E_i} \sigma_i \quad\text{ pro $i,j\in\{x,y,z\}$, $i\neq j$}.\]
Pomocí Youngových modulů pro jednotlivé směry, pomocí Poissonova čísla a pomocí smykových modulů je možno formulovat Hookův zákon následovně.
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\frac 1{E_x} & -\frac{\nu_{yx}}{E_y} & -\frac{\nu_{zx}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
& \frac 1{E_y} & -\frac{\nu_{zy}}{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
& & \frac 1{E_z} & 0 & 0 & 0 \\
& & & \frac 1{G_{yz}} & 0 & 0 \\
\rlap{\text{symmetric}} & & & & \frac 1{G_{xz}} & 0 \\
& & & & & \frac 1{G_{xy}} \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right)
\end{split}\]
Z podmínek symetrie plynou vztahy
\[
\frac{\nu_{ij}}{{E_i}} = \frac{\nu_{ji}}{E_j}.
\]
Poznámka: Někdy je přehozen význam indexů u Poissonova podílu. Proto je nutné se u každého použití vzorce v literatuře nebo softwaru seznámit s použitou notací.
12.1.2. Materiály izotropní v jedné rovině
Materiály izotropní v jedné rovině (též uniaxiální, transerzálně symetrické, …) jsou materiály podobné ortotropním, ale ve dvou ze tří směrů mají stejné materiálové vlastnosti a díky tomu mají stejné vlastnosti ve všech směrech této roviny. Typickým představitelem jsou sendvičové materiály, například geologické vrstvy.
Konstanty související s izotropií jsou stejné. Například pro materiál izotropní v rovině \(xy\) vypadá materiálový vztah následovně.
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
S_{11} & S_{12} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\
& S_{11} & S_{13} & 0 & 0 & 0 \\
& & S_{33} & 0 & 0 & 0 \\
& & & S_{44} & 0 & 0 \\
\rlap{\text{symmetric}} & & & & S_{44} & 0 \\
& & & & & S_{66} \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right)
\end{split}\]
Tyto materiály popisujeme pomocí pěti nezávislých materiálových konstant. Šestá konstanta je dána vztahem
\[S_{66} = 2(S_{11}-S_{22}).\]
12.1.3. Izotropní materiály
Izotropní materiály mají ve všech směrech stejné vlastnosi.
\[S_{11}=S_{22}=S_{33}=\frac 1E, \quad S_{ij}=-\frac{\nu}{E} \text {pro $i\neq j$, $i,j\in\{1,2,3\}$}\]
\[S_{44}=S_{55}=S_{66}=\frac 1G\]
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
S_{11} & S_{12} & S_{12} & 0 & 0 & 0 \\
& S_{11} & S_{12} & 0 & 0 & 0 \\
& & S_{11} & 0 & 0 & 0 \\
& & & S_{44} & 0 & 0 \\
\rlap{\text{symmetric}} & & & & S_{44} & 0 \\
& & & & & S_{44} \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right)
\end{split}\]
Pomocí Youngova modulu, smykového modulu a Poissonova čísla dostáváme následující vztah.
\[\begin{split}\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_x \\
\varepsilon_y \\
\varepsilon_z \\
\varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{xy}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
\frac 1E & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\
& \frac 1E & -\frac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0 \\
& & \frac 1E & 0 & 0 & 0 \\
& & & \frac 1G & 0 & 0 \\
\rlap{\text{symmetric}} & & & & \frac 1G & 0 \\
& & & & & \frac 1G \\
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\sigma_x \\
\sigma_y \\
\sigma_z \\
\sigma_{yz} \\
\sigma_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{matrix}
\right)
\end{split}\]
Izotropní materiály charakterizujeme pomocí tří materiálových konstant. Mezi těmito konstantami je vztah
\[G = \frac{E}{2(1+\nu)}.\]
Hodnota \(\nu\) pro izotropní materiály je zpravidla blízká číslu \(0.33\).
Malá hodnota \(\nu\) znamená, že materiál se při zatížení v jednom směru deformuje jenom málo v kolmých směrech. Taková vlastnost je vhodná například pro zátky lahví. Korek má velmi malou hodnotu \(\nu\), jinak by bylo komplikované láhev otevřít nebo uzavřít.
Velká hodnota \(\nu\) znamená, že materiál se při zatížení v jednom směru deformuje výrazně i v kolmých směrech. Takové materiály jsou špatně objemově stlačitelné. Příkladem je guma a další tlumící materiály.