13. Konstituční vztahy, difuzní rovnice#
13.1. Tok tepla, difuzní tok, transportní děje#
Pochopení a modelování transportních dějů je důležité pro většinu technických oborů. Podstata těchto dějů je často odlišná, přesto mají navenek podobné chování a tím je umožněn jednotný přístup při matematickém modelování.
Příklady veličin podléhajících transportním dějům
povrchová voda
podzemní voda
teplo
voda ve dřevě
Obecná bilance veličiny, která má zdroje a spotřebiče a je přenášena tokem vypadá následovně.
Existuje veličina, spojitě rozložená v prostoru, charakterizující stav systému. Tuto veličinu budeme nazývat stavovou veličinou a její hustotu označíme \(u\).
Stavová veličina se může v prostoru přemisťovat tokem \(\vec \jmath\).
Stavová veličina může vznikat a zanikat. Zdroje i spotřebiče budeme uvažovat společně a jejich vydatnost rozlišíme znaménkem: spotřebiče budou zdroje se zápornou vydatností. Celkovou vydatnost zdrojů a spotřebičů v daném místě, tj. množství veličiny vygenerované na jednotku objemu (nebo plochy, nebo délky, podle počtu dimenzí v úloze) za jednotku času, označíme \(\sigma\).
Zákon zachování (se zohledněním toku a zdrojů) je vlastně celková bilance stavové veličiny. Přirozeným jazykem je možno tuto bilanci formulovat následovně.
Přírůstek množství veličiny je součtem přírůstku ze zdrojů a přírůstku způsobeného tokem.
Toto je jednoduchý, ale přitom neuvěřitelně silný nástroj, který umožní popsat řadu zcela odlišných dějů. Pro použití v matematickém modelu ale musíme jednotlivé pojmy kvantifikovat. Měřit rychlost, s jakou se mění množství veličiny v daném místě umíme pomocí derivace podle času. Měřit změny v toku přenášejícím sledovanou veličinu jsme se naučili jako jednu z aplikací parciálních derivací: jedná se o záporně vzatou derivaci podle prostorové proměnné vynásobenou fyzikální materiálovou konstantou. Ještě se musíme naučit měřit intenzitu toku a její změny ve dvou nebo třech dimenzích.
13.2. Divergence toku#
Definition (Divergence)
Divergence vektorového pole \(\vec F\) v daném bodě je převis toku vektorového pole z tohoto místa nad tokem do tohoto místa. Tento tok se počítá přes hranici infinitezimálně malého referenčního tělesa a je vztažený na jednotku objemu. Divergenci vektorového pole \(\vec F\) označujeme \(\nabla\cdot\vec F\) nebo \(\mathop{\mathrm{div}} \vec F\).
Theorem (Výpočet divergence)
Pro vektorovou funkci
Remark (Fyzikální interpretace divergence)
Vektorové pole používáme k modelování toku veličin, které nás zajímají (teplo v materiálu, tekutina nebo chemická látka v materiálu, voda nebo plyn v půdě a podobně). Divergence vektorového pole udává tok z jednotkového objemu látky v daném místě. Udává, jestli se v daném místě a čase tok nabývá na intenzitě (kladná divergence) nebo ustává (záporná divergence). Tento efekt může být způsoben tím, že veličina přenášená tímto polem se v daném místě buď kumuluje, nebo ubývá a také tím, že daná veličina v bodě může vznikat nebo zanikat.
13.3. Rovnice kontinuity#
Přírůstek stavové veličiny za jednotku času v jednotkovém objemu (nebo ploše, nebo délce, podle dimenzionality úlohy) je derivace hustoty \(u\) podle času.
\[\text{Přírůstek}=\frac{\partial u}{\partial t}\]Přírůstek veličiny v jednotkovém objemu (nebo ploše, nebo délce) za jednotku času způsobený tokem \(\vec \jmath\) je záporně vzatá divergence vektorového pole \(\vec \jmath\). Tento přírůstek je způsobený snížením toku, proto má předřazeno záporné znaménko.
\[ \text{ Přírůstek způsobený tokem }=-\nabla\cdot \vec \jmath\]
Matematickou formulací celkové bilance je rovnice kontinuity.
Poznámka (fyzikální interpretace členů rovnice kontinuity).
Člen \(\frac{\partial u}{\partial t}\) udává, jak rychle se roste hustota stavové veličiny \(u\) v daném místě a čase.
Člen \(\sigma\) udává vydatnost zdrojů stavové veličiny, přičemž spotřebiče jsou uvažovány jako zdroje záporné vydatnosti. Tento člen tedy udává, kolik stavové veličiny v tomto místě vzniká v jednotkovém objemu za jednotku času.
Člen \(\nabla\cdot \vec j\) udává v daném bodě změnu ve velikosti proudění přenášejícím stavovou veličinu. Přesněji, udává, o kolik více veličiny z daného místa vyteče ve srovnání s množstvím veličiny, které do tohoto místa vteče. Jinak řečeno, udává, o kolik zesílí v daném místě tok \(\vec \jmath\). My potřebujeme mít zachyceno zeslabení (množství které chybí v toku se „použije“ na akumulaci veličiny v daném místě) a proto uvažujeme záporně vzatou divergenci, tj. \(-\nabla\cdot \vec j\).
Pokud zdroje stavové veličiny neexistují, jedná se o bezzdrojovou rovnici a klademe \(\sigma=0\).
Pokud studujeme systém v ustáleném stavu, kdy se stavová veličina nemění v čase, je člen \(\frac{\partial u}{\partial t}\) na levé straně nulový. V tomto případě mluvíme o stacionárním stavu a stacionární rovnici kontinuity. Stacionární rovnice kontinuity typicky popisuje systémy, které byly dostatečně dlouhou dobu ve stabilních podmínkách a dosáhly rovnovážného stavu.
Viděli jsme, že za určitých podmínek mohou některé členy v rovnici kontinuty chybět. Naopak člen \(\nabla\cdot \vec j\) charakterizující změny v toku je v rovnici kontinuity přítomen vždy. Bez něj by rovnice kontinuity ztratila smysl (resp. redukovala by se na triviální případ, kdy veličina v daném místě vzniká danou rychlostí a zůstává zde, tj. problém řešitelný čistě integrováním).
13.4. Difuzní rovnice#
Difuzní rovnice je rovnice kontiuity s dosazeným konstitučním vztahem pro tok. Použijeme-li pro kvantifikaci souvislosti toku a gradientu lineární aproximaci, je možné psát
Remark (Fyzikální interpretace rovnice difuzní rovnice)
Člen \(\frac{\partial u}{\partial t}\) udává, jak rychle se mění hustota stavové veličiny \(u\). Je stejný jako v rovnici kontinuity.
Člen \(\sigma\) udává vydatnost zdrojů stavové veličiny. Je stejný jako v rovnici kontinuity.
Člen \(\nabla u\) udává nerovnoměrnost v prostorovém rozložení stavové veličiny. Pomocí difuzní matice \(D\) a konstitutivního zákona tuto nerovnoměrnost přepočítáme na tok, který se snaží uvažovanou nerovnoměrnost vyrovnat. Tento tok je reprezentován výrazem \(-D\nabla u\).
Záporně vzatá divergence toku udává, jak tok v daném místě ztrácí na intenzitě. Vzhledem k zápornému znaménku v konstitutivním zákoně má záporně vzatá divergence tvar
\[\nabla\cdot \bigl(D\nabla u\bigr).\]Představuje přírůstek hustoty stavové veličiny v daném místě za jednotku času, způsobený zeslábnutím toku.Rovnice jako celek vyjadřuje, že navýšení hustoty stavové veličiny (tj. množství stavové veličiny v jednotkovém objemu) je součtem navýšení díky zdrojům a navýšení díky zeslabení toku v daném místě.
13.5. Rovnice vedení tepla#
Důležitým speciálním případem difuzní rovnice je rovnice vedení tepla. Stavovou veličinou, která se zachovává v úlohách s vedením tepla, je vnitřní energie ve formě tepla. Zpravidla nemá smysl uvažovat členy vyjadřující zdroje, tj. \(\sigma =0\). Protože teplo neměříme přímo, je vhodnější model formulovat pro teplotu \(T\). Jsou-li \(\varrho\) a \(c\) po řadě hustota a měrná tepelná kapacita materiálu, má člen vyjadřující změnu hustoty energie v daném místě tvar \(\varrho c\frac{\partial T}{\partial t}.\) Úměrnost mezi gradientem teploty a tokem tepla zprostředkovává Fourierův zákon. Difuzní rovnice má v tomto případě tvar
Remark (Fyzikální interpretace rovnice vedení tepla)
Veličina \(\frac{\partial T}{\partial t}\) udává rychlost růstu teploty tělesa a koeficient \(\rho c\) tuto hodnotu přepočítává na údaj, jak rychle roste vnitřní energie tělesa (kinetická energie molekul.)
Výraz \(D\nabla T\) udává (až na znaménko), jak se nerovnoměrnost v rozložení teploty vyrovnává tokem tepla. Přesněji, tok tepla je \(-D\nabla T\).
Člen \(\nabla\cdot(D\nabla T)\) udává, kolik tepla z celkového toku v daném místě zůstává a podílí se na zvýšení teploty. Vzhledem k absenci zdrojů je to také jediný mechanismus, jak v daném místě může vnitřní energie přibývat či ubývat.
Rovnice jako celek vyjadřuje to, že pokud z daného místa více energie odtéká, než kolik do místa proudí, dojde v tomto místě k odpovídajícímu snížení teploty. V tomto bodě je totiž divegrence toku \(\nabla\cdot (-D\nabla T)\) kladná a výraz z rovnice \(\nabla\cdot (D\nabla T)\) je proto záporný.