6. Aplikace derivací#
Lineární aproximace funkce jedné proměnné - komplikované funkční předpisy nahradíme lineární funkcí, která je jednodušší a přitom nám umožní odhadnout hodnotu funkce v okolí zadaného bodu. Mnoho inženýrských úloh se velmi zjednoduší, pouze za malou cenu v podobě určité ztráty přesnosti.
Jednorozměrné konstituční zákony - matematické vztahy, které popisují chování materiálů a systémů v závislosti na vnějších faktorech, jako jsou teplota, tlak, objem, atd. Tyto zákony jsou klíčové pro pochopení a předpověď chování materiálů a systémů v různých podmínkách. Příklady jsou Hookův zákon, Fourierův zákon, Darcyho zákon. Formálně mají jednotnou podobu a derivace nám umožní pochopit, proč tomu tak je.
Modely založené na derivacích, diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice jsou matematické vztahy, které popisují, jak rychlost změny nějaké veličiny souvisí s její aktuální hodnotou. Jsou klíčové pro modelování a analýzu dynamických systémů v různých oblastech, jako jsou fyzika, biologie, ekonomie, inženýrství a další. Hrají roli i ve statice, například při popisu deformace nosníků.
6.1. Rovnice ochlazování#
Uvažujme dvě tělesa o různé teplotě, která jsou v kontaktu, tak, že teplo může přecházet z jednoho tělesa na druhé. Pro jednoduchost uvažujme kávu o teplotě \(T\) v prostředí o teplotě \(T_0\). Káva se ochlazuje, ale teplota místnosti se tímto nemění a je konstantní. Dynamiku ochlazování kávy popisuje následující zákon.
Poznámka (Newtonův zákon ochlazování)
Rychlost s jakou se mění teplota tělesa v kontaktu s okolím je přímo úměrná rozdílu teploty tělesa a teploty okolí.
Obr. 6.1 Newtonův zákon ochlazování popisuje, jak se teplota kávy mění v závislosti na rozdílu mezi teplotou kávy a teplotou okolí. Zákon platí pochopitelně obecně pro libovolná dvě tělesa různé teploty, která jsou v tepelném kontaktu.#
Matematickým modelem tohoto zákona je počáteční úloha
Jedná se o přirozený překlad slovního popisu do matematického jazyka. Obsahuje rychlost zmeny teploty kávy (derivaci), přímou úměrnost (násobení konstantou \(k\)) a rozdíl teploty kávy a teploty okolí (\(T-T_\infty\)).
Tato rovnice nám umožní pochopit, jak se teplota kávy mění v čase a jak rychle se ochlazuje.
V rovnici je obsaženo, že dynamika ochlazování s časem klesá, protože jak se káva ochlazuje, rozdíl teplot mezi kávou a okolím se zmenšuje.
Rovnice umožňuje modelovat různé scénáře a měnit vlastnosti hrnku i okolí a sledovat, jak se to projeví na celkovém průběhu děje.
6.2. Diferenciální rovnice#
Diferenciální rovnice jsou matematické vztahy, které popisují, jak rychlost změny nějaké veličiny souvisí s její aktuální hodnotou. Jsou klíčové pro modelování a analýzu dynamických systémů v různých oblastech, jako jsou fyzika, biologie, ekonomie, inženýrství a další. Hrají roli i ve statice, například při popisu deformace nosníků. Už na příkladu ochlazování kávy vidíme, že diferenciální rovnice jsou přirozeným jazykem při kvantifikaci přírodních dějů.
6.3. Aproximace derivací#
Obr. 6.2 Aproximace derivace pomocí diferencí.#
Derivace je definována pomocí limitního přechodu
Dopředná poměrná diference \(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
Centrální diference \(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\)
Zpětná poměrná diference \(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}\)
6.4. Převod rovnice ochlazování na tvar s konečnými diferencemi#
Rovnici ochlazování můžeme přepsat do tvaru s konečnými diferencemi, což nám umožní tuto rovnici numericky řešit.
Pseudokód pro numerické řešení rovnice ochlazování je následující.
T = T0
for t in range(0, max_time, h):
T = T - k * h * (T - T_inf)
Python kód pro numerické řešení rovnice ochlazování.
Tento postup je však pouze ilustrační, v praxi se používají sofistikovanější metody pro řešení diferenciálních rovnic, které jsou stabilnější a přesnější než uvedená jednoduchá Eulerova metoda.
6.5. Lineární aproximace funkce jedné proměnné#
V následujících pasážích se budeme věnovat lineární aproximaci funkce. To je nahrazení funkce s jakkoli složitým funkčním předpisem funkcí s tím nejjednodušším možným předpisem: lineární funkcí. Tím se pochopitelně dopouštíme jisté nepřesnosti a je to něco za něco: k popisu úlohy máme poté k dispozici jednodušší funkce, ale výpočty jsou zatíženy chybou. Někdy tato chyba může být tak velká, že je idea lineární aproximace naprosto nepoužitelná. Ale jindy se jedná o nástroj, který prakticky neřešitelnou úlohu převede na úlohu snadno zvládnutelnou. Linearizace nelineárních úloh je jedním ze základních inženýrských postupů. V mnoha případech dává samotná dobré výsledky a řeší zadaný problém, v jiných případech slouží jako odrazový můstek ke zvládnutí nelineárního problému.
6.5.1. Lineární aproximace v 1D#
Obr. 6.3 Lineární aproximace funkce. Při dostatečném zvětšení se graf funkce zdá být přibližně lineární.#
Pokud se funkce mění, můžeme odhad změny z předchozího odstavce přičíst k funkční hodnotě a tím máme odhad funkční hodnoty po změně. Toto je principem lineární aproximace, neuvěřitelně jednoduché a přitom velice mocné techniky používané inženýry k tomu, aby se popis problémů a řešení úloh vůbec daly efektivně zvládnout.
Věta (Lineární aproximace)
Buď \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) funkce, která má derivaci. V okolí bodu \(x_0\) platí přibližný vzorec
Poznámka (Slovní interpretace vzorce pro lineární aproximaci)
Výše uvedený vzorec není těžké rozšifrovat.
Veličina \(f(x)\) je funkční hodnota v bodě \(x\), tu chceme odhadnout.
Veličina \(f(x_0)\) je známá funkční hodnota v bodě \(x_0\), to je ýchozí bod pro odhad.
Veličina \(f'(x_0)\) je odhad změny veličiny \(f\) způsobený jednotkovou změnou vstupních dat (zvýšení hodnoty \(x_0\) o jednotku). Tento faktor ještě v dalším kroku musíme přizpůsobit tomu, že změna vstupních dat není jednotková, což uděláme s využitím přímé úměrnosti.
Veličina \(f'(x_0)(x-x_0)\) je odhad změny veličiny \(f\) vyvolané změnou veličiny \(x\) z \(x_0\) o \(\Delta x=x-x_0\) tak, jak jsme jej používali v minulé přednášce.
Poznámka (Alternativní vzorec pro lineární aproximaci)
Vzorec pro lineární aproximaci se často píše v ekvivalentním tvaru
Význam vzorce pro lineární aproximaci
Vzorec umožňuje složitý funkční předpis předpisem jednodušším (lineární funkce jsou jedny z nejtrivilálnějších).
K použití vzorce stačí znát jeden bod grafu a funkční hodnotu a hodnotu derivace v tomto bodě.
Aproximace je pouze lokální, použitelná pouze v určitém okolí uvažovaného bodu. Jak velké toto okolí může být a jaké chyby se dopouštíme při lineární aproximaci je různé pro různé funkce. Obecně platí, že čím blíže jsme k bodu \(x_0\), tím je tato aproximace přesnější.
Příklady lineární aproximace
V okolí bodu \(x=0\) platí následující lineární aproximace
\(\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{1}{2}x\)
\(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\approx 1+\frac{1}{2}x\)
\(\sin x\approx x\)
\(\cos x\approx 1\)
\(\begin{pmatrix} \cos(x) & -\sin(x)\\ \sin(x) & \cos(x)\end{pmatrix}\approx \begin{pmatrix} 1 & -x\\ x & 1\end{pmatrix}\)
6.6. Jednorozměrné konstituční zákony#
Konstituční zákony jsou matematické vztahy, které popisují chování materiálů a systémů v závislosti na vnějších faktorech, jako jsou teplota, tlak, objem, atd. Tyto zákony jsou klíčové pro pochopení a předpověď chování materiálů a systémů v různých podmínkách.
Příklady konstitučních zákonů:
Hookův zákon: Popisuje vztah mezi silou \(F\) působící na pružinu a její deformací \(x\). Matematicky je vyjádřen jako
\[F = kx,\]kde \(k\) je tuhost pružiny.Fourierův zákon: Popisuje vztah mezi rychlostí poklesu teploty a tepelným tokem v materiálu. Matematicky je vyjádřen vztahem
\[q = -k \frac{dT}{dx},\]kde \(q\) je tepelný tok, \(k\) je tepelná vodivost a \(T\) je teplota.Fickův zákon: Popisuje vztah mezi difuzním tokem a gradientem koncentrace v porézním médiu. Matematicky je vyjádřen vztahem
\[j = -D \frac{dc}{dx},\]kde \(j\) je difuzní tok, \(D\) je difuzní koeficient a \(c\) je koncentrace.